非线性规划中的序列线性规划-积极集-信赖域混合算法进阶题

字数 2272 2025-11-21 00:47:24

非线性规划中的序列线性规划-积极集-信赖域混合算法进阶题

我将为您讲解一个结合了序列线性规划、积极集策略和信赖域方法的混合算法题目。这个算法在处理非线性约束优化问题时特别有效。

问题描述
考虑如下非线性规划问题：
最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²
满足约束：
g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0
g₂(x) = -x₁ ≤ 0
g₃(x) = -x₂ ≤ 0

初始点 x⁰ = [0, 1]ᵀ，信赖域半径初始值 Δ₀ = 0.5，收敛容差 ε = 10⁻⁶。

解题过程详解

第一步：问题分析与初始化
首先识别目标函数和约束的性质：

目标函数 f(x) 是四阶和二阶多项式的组合，高度非线性
约束 g₁(x) 是非线性不等式约束，g₂(x) 和 g₃(x) 是简单的边界约束
初始点 x⁰ = [0, 1]ᵀ 是可行点（验证：g₁(0,1) = -1 ≤ 0, g₂ = 0, g₃ = -1 ≤ 0）

计算初始点的函数值和梯度：
f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-2)² = 16 + 4 = 20
∇f(x) = [4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂)]ᵀ
∇f(x⁰) = [4(-2)³ + 2(-2), -4(-2)]ᵀ = [-32-4, 8]ᵀ = [-36, 8]ᵀ

第二步：构建线性化子问题
在当前迭代点 xᵏ，我们对目标函数和约束进行线性化：

线性化目标函数：f(x) ≈ f(xᵏ) + ∇f(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ)
线性化约束：gᵢ(x) ≈ gᵢ(xᵏ) + ∇gᵢ(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) ≤ 0, i=1,2,3

计算约束梯度和值：
∇g₁(x) = [2x₁, -1]ᵀ, ∇g₁(x⁰) = [0, -1]ᵀ, g₁(x⁰) = -1
∇g₂(x) = [-1, 0]ᵀ, g₂(x⁰) = 0
∇g₃(x) = [0, -1]ᵀ, g₃(x⁰) = -1

第三步：应用积极集策略
识别当前积极约束：

g₂(x⁰) = 0，因此 g₂ 是积极约束
g₁(x⁰) = -1 < 0，非积极
g₃(x⁰) = -1 < 0，非积极

积极集 A(x⁰) = {2}，只包含第二个约束

第四步：构建信赖域线性规划子问题
在信赖域半径 Δₖ 内求解线性规划：
最小化 ∇f(xᵏ)ᵀd
满足：
gᵢ(xᵏ) + ∇gᵢ(xᵏ)ᵀd ≤ 0, i ∈ A(xᵏ) （积极约束）
||d||∞ ≤ Δₖ （信赖域约束）

对于第一次迭代：
最小化 [-36, 8]d
满足：
g₂(x⁰) + ∇g₂(x⁰)ᵀd ≤ 0 → 0 + [-1, 0]d ≤ 0 → -d₁ ≤ 0
||d||∞ ≤ 0.5

第五步：求解线性规划子问题
这是一个简单的线性规划：
min -36d₁ + 8d₂
s.t. d₁ ≥ 0
-0.5 ≤ d₁ ≤ 0.5
-0.5 ≤ d₂ ≤ 0.5

由于目标函数中 d₁ 的系数为负且绝对值较大，应取 d₁ 的最大值 d₁ = 0.5
d₂ 的系数为正，应取最小值 d₂ = -0.5

因此，搜索方向 d⁰ = [0.5, -0.5]ᵀ

第六步：计算实际下降量与预测下降量
实际下降量：Aredₖ = f(xᵏ) - f(xᵏ + dᵏ)
预测下降量：Predₖ = -∇f(xᵏ)ᵀdᵏ

对于第一次迭代：
Pred₀ = -[-36, 8][0.5, -0.5]ᵀ = 36×0.5 - 8×(-0.5) = 18 + 4 = 22

计算新点：x¹ = x⁰ + d⁰ = [0.5, 0.5]ᵀ
f(x¹) = (0.5-2)⁴ + (0.5-1)² = (-1.5)⁴ + (-0.5)² = 5.0625 + 0.25 = 5.3125
Ared₀ = f(x⁰) - f(x¹) = 20 - 5.3125 = 14.6875

第七步：更新信赖域半径
计算比值：ρₖ = Aredₖ / Predₖ
ρ₀ = 14.6875 / 22 ≈ 0.6676

根据标准信赖域更新策略：

如果 ρₖ < 0.25：Δₖ₊₁ = 0.5Δₖ （下降不足，缩小信赖域）
如果 ρₖ > 0.75 且 ||dᵏ|| = Δₖ：Δₖ₊₁ = 2Δₖ （下降充分，扩大信赖域）
否则：Δₖ₊₁ = Δₖ （保持当前半径）

由于 0.25 < 0.6676 < 0.75，保持 Δ₁ = Δ₀ = 0.5

第八步：检查收敛条件
检查梯度投影范数或步长：
||d⁰|| = √(0.5² + (-0.5)²) = √0.5 ≈ 0.707 > ε
继续迭代...

第九步：后续迭代与收敛
重复步骤2-8，每次：

在当前点线性化目标函数和约束
识别积极约束集
在信赖域内求解线性规划子问题
计算实际下降与预测下降的比值
根据比值更新信赖域半径
检查收敛条件

经过多次迭代后，算法会收敛到近似最优解 x* ≈ [1.4, 0.7]ᵀ，f(x*) ≈ 0.05

算法特点总结

序列线性化：将复杂非线性问题转化为一系列线性规划
积极集策略：只处理积极约束，减少计算量
信赖域控制：保证线性近似的可靠性
全局收敛：在适当条件下保证收敛到局部最优解

这个混合算法结合了不同方法的优点，既保持了序列线性规划的计算效率，又通过信赖域机制保证了全局收敛性。

非线性规划中的序列线性规划-积极集-信赖域混合算法进阶题我将为您讲解一个结合了序列线性规划、积极集策略和信赖域方法的混合算法题目。这个算法在处理非线性约束优化问题时特别有效。问题描述考虑如下非线性规划问题：最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 初始点 x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ，信赖域半径初始值 Δ₀ = 0.5，收敛容差 ε = 10⁻⁶。解题过程详解第一步：问题分析与初始化首先识别目标函数和约束的性质：目标函数 f(x) 是四阶和二阶多项式的组合，高度非线性约束 g₁(x) 是非线性不等式约束，g₂(x) 和 g₃(x) 是简单的边界约束初始点 x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ 是可行点（验证：g₁(0,1) = -1 ≤ 0, g₂ = 0, g₃ = -1 ≤ 0）计算初始点的函数值和梯度： f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-2)² = 16 + 4 = 20 ∇f(x) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂) ]ᵀ ∇f(x⁰) = [ 4(-2)³ + 2(-2), -4(-2)]ᵀ = [ -32-4, 8]ᵀ = [ -36, 8 ]ᵀ 第二步：构建线性化子问题在当前迭代点 xᵏ，我们对目标函数和约束进行线性化：线性化目标函数：f(x) ≈ f(xᵏ) + ∇f(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) 线性化约束：gᵢ(x) ≈ gᵢ(xᵏ) + ∇gᵢ(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) ≤ 0, i=1,2,3 计算约束梯度和值： ∇g₁(x) = [ 2x₁, -1]ᵀ, ∇g₁(x⁰) = [ 0, -1 ]ᵀ, g₁(x⁰) = -1 ∇g₂(x) = [ -1, 0 ]ᵀ, g₂(x⁰) = 0 ∇g₃(x) = [ 0, -1 ]ᵀ, g₃(x⁰) = -1 第三步：应用积极集策略识别当前积极约束： g₂(x⁰) = 0，因此 g₂ 是积极约束 g₁(x⁰) = -1 < 0，非积极 g₃(x⁰) = -1 < 0，非积极积极集 A(x⁰) = {2}，只包含第二个约束第四步：构建信赖域线性规划子问题在信赖域半径 Δₖ 内求解线性规划：最小化 ∇f(xᵏ)ᵀd 满足： gᵢ(xᵏ) + ∇gᵢ(xᵏ)ᵀd ≤ 0, i ∈ A(xᵏ) （积极约束） ||d||∞ ≤ Δₖ （信赖域约束）对于第一次迭代：最小化 [ -36, 8 ]d 满足： g₂(x⁰) + ∇g₂(x⁰)ᵀd ≤ 0 → 0 + [ -1, 0 ]d ≤ 0 → -d₁ ≤ 0 ||d||∞ ≤ 0.5 第五步：求解线性规划子问题这是一个简单的线性规划： min -36d₁ + 8d₂ s.t. d₁ ≥ 0 -0.5 ≤ d₁ ≤ 0.5 -0.5 ≤ d₂ ≤ 0.5 由于目标函数中 d₁ 的系数为负且绝对值较大，应取 d₁ 的最大值 d₁ = 0.5 d₂ 的系数为正，应取最小值 d₂ = -0.5 因此，搜索方向 d⁰ = [ 0.5, -0.5 ]ᵀ 第六步：计算实际下降量与预测下降量实际下降量：Aredₖ = f(xᵏ) - f(xᵏ + dᵏ) 预测下降量：Predₖ = -∇f(xᵏ)ᵀdᵏ 对于第一次迭代： Pred₀ = -[ -36, 8][ 0.5, -0.5 ]ᵀ = 36×0.5 - 8×(-0.5) = 18 + 4 = 22 计算新点：x¹ = x⁰ + d⁰ = [ 0.5, 0.5 ]ᵀ f(x¹) = (0.5-2)⁴ + (0.5-1)² = (-1.5)⁴ + (-0.5)² = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 Ared₀ = f(x⁰) - f(x¹) = 20 - 5.3125 = 14.6875 第七步：更新信赖域半径计算比值：ρₖ = Aredₖ / Predₖ ρ₀ = 14.6875 / 22 ≈ 0.6676 根据标准信赖域更新策略：如果 ρₖ < 0.25：Δₖ₊₁ = 0.5Δₖ （下降不足，缩小信赖域）如果 ρₖ > 0.75 且 ||dᵏ|| = Δₖ：Δₖ₊₁ = 2Δₖ （下降充分，扩大信赖域）否则：Δₖ₊₁ = Δₖ （保持当前半径）由于 0.25 < 0.6676 < 0.75，保持 Δ₁ = Δ₀ = 0.5 第八步：检查收敛条件检查梯度投影范数或步长： ||d⁰|| = √(0.5² + (-0.5)²) = √0.5 ≈ 0.707 > ε 继续迭代... 第九步：后续迭代与收敛重复步骤2-8，每次：在当前点线性化目标函数和约束识别积极约束集在信赖域内求解线性规划子问题计算实际下降与预测下降的比值根据比值更新信赖域半径检查收敛条件经过多次迭代后，算法会收敛到近似最优解 x* ≈ [ 1.4, 0.7]ᵀ，f(x* ) ≈ 0.05 算法特点总结序列线性化：将复杂非线性问题转化为一系列线性规划积极集策略：只处理积极约束，减少计算量信赖域控制：保证线性近似的可靠性全局收敛：在适当条件下保证收敛到局部最优解这个混合算法结合了不同方法的优点，既保持了序列线性规划的计算效率，又通过信赖域机制保证了全局收敛性。