最长公共子序列的变种：带字符必须按顺序出现限制的最长公共子序列（进阶版：限制某些字符必须连续出现k次）

题目描述

给定两个字符串s和t，以及一个字符集合C和一个整数k。要求找到s和t的最长公共子序列，且满足：

1. 对于集合C中的每个字符，如果在子序列中出现，则必须连续出现至少k次
2. 子序列中C集合字符的连续出现段必须完整（不能截断）

例如：
s = "abcde", t = "ace", C = {'c'}, k = 1
最长公共子序列为 "ace"，其中'c'连续出现1次，满足条件。

解题思路

步骤1：理解问题本质

这是一个带限制条件的最长公共子序列(LCS)问题。我们需要在标准的LCS动态规划基础上，增加对特定字符连续出现次数的限制。

步骤2：状态定义

定义dp[i][j][x]表示：

• 考虑s的前i个字符和t的前j个字符
• 当前正在构建的C集合字符的连续出现长度为x
• 的值表示当前最长公共子序列长度

但这样定义状态空间太大，更好的方法是：
定义dp[i][j]表示考虑s的前i个字符和t的前j个字符时的最长公共子序列长度
定义cnt[i][j]表示在达到dp[i][j]时，当前C集合字符的连续出现长度

步骤3：状态转移方程

对于每个位置(i, j)：

1. 如果s[i-1] == t[j-1]（字符匹配）：

   • 如果当前字符 ∈ C：
     • 如果前一个状态cnt[i-1][j-1] >= k-1 或者 前一个字符不在C中：
       dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
       cnt[i][j] = cnt[i-1][j-1] + 1
     • 否则：
       跳过这个匹配（因为不满足连续k次的限制）
   • 如果当前字符 ∉ C：
     dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
     cnt[i][j] = 0（重置计数器）

2. 如果s[i-1] != t[j-1]（字符不匹配）：
   dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
   选择cnt值时，要选择与dp值对应的cnt值

步骤4：初始化

• dp[0][j] = 0, cnt[0][j] = 0（空字符串）
• dp[i][0] = 0, cnt[i][0] = 0（空字符串）

步骤5：算法实现

def longestCommonSubsequenceWithConstraint(s, t, C, k):
    m, n = len(s), len(t)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    cnt = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if s[i-1] == t[j-1]:
                if s[i-1] in C:
                    # 检查是否满足连续k次的限制
                    if cnt[i-1][j-1] >= k - 1 or (i-1 == 0 or j-1 == 0 or s[i-2] not in C):
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                        cnt[i][j] = cnt[i-1][j-1] + 1
                    else:
                        # 不满足限制，跳过这个匹配
                        dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
                        cnt[i][j] = cnt[i-1][j-1]  # 保持原计数
                else:
                    # 普通字符，正常处理
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                    cnt[i][j] = 0  # 重置计数器
            else:
                # 字符不匹配，选择较大的那个
                if dp[i-1][j] > dp[i][j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
                    cnt[i][j] = cnt[i-1][j]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i][j-1]
                    cnt[i][j] = cnt[i][j-1]
    
    return dp[m][n]

步骤6：复杂度分析

• 时间复杂度：O(m × n)，其中m和n分别是两个字符串的长度
• 空间复杂度：O(m × n)，用于存储dp和cnt数组

示例验证

例1：s = "abcde", t = "ace", C = {'c'}, k = 1
结果：3（子序列"ace"）

例2：s = "aabcc", t = "aacc", C = {'c'}, k = 2
结果：4（子序列"aacc"，其中'c'连续出现2次）

这个算法在标准LCS的基础上，通过额外的计数数组来跟踪特定字符的连续出现情况，确保满足题目中的限制条件。