区间动态规划例题：鸡蛋掉落问题（K个鸡蛋，N层楼版本） 问题描述 你手中有K个完全相同的鸡蛋，并有一座N层高的建筑。已知存在一个楼层F（0 <= F <= N），从任何高于F的楼层扔下鸡蛋，鸡蛋都会破碎；从F层或比F低的楼层扔下鸡蛋，鸡蛋不会破碎。每次操作，你可以取一个鸡蛋从某一层楼扔下： 如果鸡蛋没碎，可以继续使用这个鸡蛋 如果鸡蛋碎了，这个鸡蛋就不能再用了 你的目标是确定F的最小值（即鸡蛋刚好不会破碎的最高楼层）。请计算在最坏情况下，你最少需要扔多少次鸡蛋才能确定F的值。 解题思路分析 这是一个经典的区间动态规划问题。我们需要考虑在不同楼层区间和不同鸡蛋数量下的最优策略，找到最坏情况下的最小尝试次数。 动态规划定义 定义dp[ k][ n ]表示有k个鸡蛋，需要测试n层楼时，在最坏情况下需要的最少尝试次数。 状态转移方程推导 当k=1时（只有一个鸡蛋）：只能从低到高逐层测试，最坏情况需要n次尝试 当n=0时：不需要测试，次数为0 当n=1时：只需要测试1次 对于一般情况dp[ k][ n ]： 我们可以选择在第i层（1≤i≤n）扔第一个鸡蛋 如果鸡蛋碎了：那么F在[ 1, i-1]层，剩下k-1个鸡蛋，需要dp[ k-1][ i-1 ]次 如果鸡蛋没碎：那么F在[ i, n]层，剩下k个鸡蛋，需要dp[ k][ n-i ]次 最坏情况下取两者最大值，再加1（当前这次尝试） 因此状态转移方程为： dp[ k][ n] = min{1 + max(dp[ k-1][ i-1], dp[ k][ n-i ])}，其中i从1到n 具体计算步骤 以K=2, N=6为例： 初始化： dp[ 1][ 0] = 0, dp[ 1][ 1] = 1, dp[ 1][ 2] = 2, ..., dp[ 1][ 6 ] = 6 dp[ k][ 0 ] = 0 (k≥1) dp[ k][ 1 ] = 1 (k≥1) 计算dp[ 2][ 1 ] = 1 计算dp[ 2][ 2 ]： i=1: 1 + max(dp[ 1][ 0], dp[ 2][ 1 ]) = 1 + max(0,1) = 2 i=2: 1 + max(dp[ 1][ 1], dp[ 2][ 0 ]) = 1 + max(1,0) = 2 取最小值：dp[ 2][ 2 ] = 2 计算dp[ 2][ 3 ]： i=1: 1 + max(0, dp[ 2][ 2 ]) = 1 + 2 = 3 i=2: 1 + max(1, dp[ 2][ 1 ]) = 1 + 1 = 2 i=3: 1 + max(2, 0) = 3 取最小值：dp[ 2][ 3 ] = 2 计算dp[ 2][ 4 ]： i=1: 1 + max(0,3) = 4 i=2: 1 + max(1,2) = 3 i=3: 1 + max(2,1) = 3 i=4: 1 + max(3,0) = 4 取最小值：dp[ 2][ 4 ] = 3 计算dp[ 2][ 5 ]： i=1: 1 + max(0,4) = 5 i=2: 1 + max(1,3) = 4 i=3: 1 + max(2,2) = 3 i=4: 1 + max(3,1) = 4 i=5: 1 + max(4,0) = 5 取最小值：dp[ 2][ 5 ] = 3 计算dp[ 2][ 6 ]： i=1: 1 + max(0,5) = 6 i=2: 1 + max(1,4) = 5 i=3: 1 + max(2,3) = 4 i=4: 1 + max(3,2) = 4 i=5: 1 + max(4,1) = 5 i=6: 1 + max(5,0) = 6 取最小值：dp[ 2][ 6 ] = 4 算法优化 直接实现的时间复杂度是O(KN²)，可以通过二分搜索优化到O(KNlogN)。观察发现dp[ k-1][ i-1]随i单调递增，dp[ k][ n-i ]随i单调递减，可以在i的取值范围内使用二分查找找到使两者最接近的点。 最终结果 对于K=2, N=6的情况，最少需要4次尝试就能在最坏情况下确定鸡蛋刚好不会破碎的最高楼层。