高斯-勒让德求积公式在电磁散射问题中的表面积分计算
题目描述
在电磁散射问题中，经常需要计算物体表面的积分，例如电场积分方程中的矩阵元素。考虑一个简单情况：在单位球面上计算积分
\[I = \iint_S \frac{e^{ik|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} f(\theta', \phi') dS' \]
其中 \(S\) 是单位球面，\((\theta',\phi')\) 是球坐标，\(k\) 是波数，\(f\) 是光滑函数。由于被积函数在 \(\mathbf{r}' \to \mathbf{r}\) 时具有奇异性，且积分区域是曲面，如何用高斯-勒让德求积公式高效计算这类积分？
解题过程
- 问题分析与坐标变换
首先将球面积分转换为参数空间上的二重积分。单位球面的面积元为
\[ dS' = \sin\theta' d\theta' d\phi' \]
积分变为
\[ I = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \frac{e^{ikR}}{R} f(\theta',\phi') \sin\theta' d\theta' d\phi' \]
其中 \(R = |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\)。当 \(\mathbf{r}\) 在球面上时，被积函数在 \(\theta' \to \theta, \phi' \to \phi\) 处有奇点 \(1/R\)。
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奇异性处理
对于近奇点问题，采用坐标变换将奇点"平滑化"。引入变量替换：- 对 \(\theta'\) 方向：令 \(u = \cos\theta'\)，则 \(du = -\sin\theta' d\theta'\)，积分区间变为 \([-1,1]\)
- 对 \(\phi'\) 方向：保持原变量，但需注意周期性
积分重写为：
\[ I = \int_0^{2\pi} \int_{-1}^{1} \frac{e^{ikR}}{R} f(\arccos u, \phi') du d\phi' \]
此时奇点仍存在于 \(u \to \cos\theta, \phi' \to \phi\)。
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高斯-勒让德求积的应用
在 \(u\) 和 \(\phi'\) 方向分别采用高斯-勒让德求积：- 对 \(u \in [-1,1]\)，取 \(N\) 个高斯点 \(u_i\) 和权重 \(w_i^{GL}\)
- 对 \(\phi' \in [0,2\pi]\)，取 \(M\) 个高斯点 \(\phi_j\) 和权重 \(w_j^{GL}\)（实际是周期函数，但高斯-勒让德仍可近似）
离散化公式：
\[ I \approx \sum_{j=1}^M \sum_{i=1}^N \frac{e^{ikR_{ij}}}{R_{ij}} f(\arccos u_i, \phi_j) w_i^{GL} w_j^{GL} \]
其中 \(R_{ij} = |\mathbf{r}-\mathbf{r}'(u_i,\phi_j)|\)。
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奇点处的特殊处理
当积分点 \((\theta_i,\phi_j)\) 接近场点 \((\theta,\phi)\) 时，采用奇点提取技术：- 将核函数拆分为 \(\frac{e^{ikR}-1}{R} + \frac{1}{R}\)
- 第一部分是光滑的，可直接用求积公式
- 第二部分 \(\frac{1}{R}\) 可解析积分或采用极坐标变换局部处理
具体实施时，以奇点为中心划分小区域，在该区域内做极坐标变换：
\[ \iint_{\Delta S} \frac{1}{R} dS' \approx \int_0^{2\pi} \int_0^{\rho_0} \frac{1}{\rho} \rho d\rho d\alpha = 2\pi\rho_0 \]
其中 \(\rho\) 是局部极坐标的径向变量。
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精度与收敛性分析
高斯-勒让德求积在光滑区域具有指数收敛性。对于 \(N\) 点公式，误差约为 \(O(e^{-cN})\)。但在奇点附近，收敛速度会下降。通过奇点提取，可将误差主要限制在光滑部分，保证整体精度。实际计算中，通常需要测试不同阶数的高斯点，直到结果收敛到所需精度。 -
实际计算建议
- 根据波数 \(k\) 和函数 \(f\) 的光滑性选择高斯点数量
- 对每个场点 \(\mathbf{r}\)，预先判断哪些积分点靠近奇点
- 对近奇点区域采用特殊处理，远场区域直接使用高斯求积
- 可通过并行计算加速多重积分求和过程
这种方法将复杂的表面积分转化为高斯求积求和，通过适当的奇点处理，在电磁散射计算中既能保证精度又能提高效率。