列生成算法在半导体晶圆制造调度问题中的应用示例 我将为您详细讲解列生成算法在半导体晶圆制造调度问题中的应用。这是一个典型的组合优化问题，列生成算法能有效处理其大规模特性。 问题描述 半导体晶圆制造过程包含数百道工序，需要在不同的机器设备上完成。每个晶圆批次需要经过光刻、蚀刻、沉积等多个工艺区域，每个区域有多个并行机器。目标是制定调度方案，最小化总完成时间（makespan）或总延迟时间，同时满足： 工序间的先后顺序约束 机器容量约束 不同产品类型的工艺路线差异 设备准备时间约束 数学模型构建 主问题（Restricted Master Problem, RMP）： 设x_ r表示是否选择调度方案r，c_ r是方案r的成本（完成时间），a_ ir表示方案r是否使用机器i。 最小化 ∑c_ r x_ r 满足： ∑a_ ir x_ r = 1, ∀i (每台机器恰好分配一个调度方案) x_ r ∈ {0,1} 列生成求解过程 步骤1：初始化限制主问题 初始时，为每台机器生成一个简单的可行调度方案 例如，可以按照工序到达时间的先后顺序安排 这些初始方案构成初始的RMP 步骤2：求解线性松弛RMP 将整数变量x_ r松弛为连续变量 使用单纯形法求解线性松弛问题 得到对偶变量π_ i（每台机器的影子价格） 步骤3：定价子问题（Pricing Subproblem） 对于每台机器，需要找到负约化成本的调度方案： 最小化 c_ r - ∑π_ i a_ ir 子问题可建模为带时间窗的并行机调度问题： 状态：工序、开始时间、完成时间 转移：工序间的时序约束 使用动态规划求解： 状态定义：f(j,t)表示处理到工序j在时间t的最小成本 递推关系：f(j,t) = min{f(j-1,t') + processing_ time + setup_ time} 记录最优路径对应的调度方案 步骤4：列管理 将定价子问题中找到的负约化成本列加入RMP 移除长期不使用的列以控制问题规模 更新基矩阵 步骤5：收敛判断 重复步骤2-4，直到： 所有定价子问题都无法找到负约化成本的列 或者改进量小于预设阈值ε 步骤6：整数解生成 由于RMP是整数规划，最后需要： 使用分支定价（branch-and-price）方法 或者在列生成得到的线性松弛解基础上，使用启发式方法构造整数解 算法特点分析 优势 ： 避免枚举所有可能的调度方案 通过对偶信息指导搜索方向 特别适合工序多、机器多的大规模实例 挑战 ： 定价子问题本身是NP难问题 需要设计高效的专用算法求解子问题 收敛速度可能受初始解质量影响 这个应用展示了列生成算法在处理复杂工业调度问题中的强大能力，通过分解主问题和子问题，有效解决了半导体制造中的大规模优化挑战。