xxx 最小生成树问题（Borůvka 算法） 我将为您详细讲解 Borůvka 算法求解最小生成树问题的完整过程。 问题描述 给定一个连通无向图 G = (V, E)，其中 V 是顶点集，E 是边集，每条边 e ∈ E 有一个权重 w(e)。最小生成树（MST）是包含图中所有顶点且边权重之和最小的树。Borůvka 算法是一种基于"分治"思想的贪心算法，特别适合并行计算。 算法步骤详解 步骤1：初始化 将每个顶点视为一个独立的连通分量（即初始时有 |V| 个分量） 初始化空边集 T，用于存储最小生成树的边 步骤2：迭代合并过程 重复以下步骤，直到只剩下一个连通分量： 子步骤2.1：寻找每个分量的最小权重出边 对于每个连通分量 Ci，遍历该分量中所有顶点的出边 找出连接 Ci 与其他分量的边中权重最小的那条边 注意：要避免选择连接同一分量内部的边 子步骤2.2：添加选中的边 将所有在步骤2.1中找到的最小权重出边加入到边集 T 中 注意：同一条边可能被两个分量同时选为最小出边，需要去重处理 子步骤2.3：更新连通分量 根据新加入的边，合并相连的连通分量 使用并查集（Union-Find）数据结构来高效管理分量的合并操作 步骤3：输出结果 当只剩下一个连通分量时，边集 T 就是最小生成树的所有边 算法执行示例 考虑一个简单图例： 顶点：A, B, C, D 边： A-B (权重2) A-C (权重3) B-C (权重1) C-D (权重4) 第一次迭代： 分量 {A}：最小出边 A-B(2) 分量 {B}：最小出边 B-C(1) 分量 {C}：最小出边 B-C(1) 分量 {D}：最小出边 C-D(4) 添加边 B-C(1) 和 C-D(4)（去重后） 合并后分量：{A}, {B,C,D} 第二次迭代： 分量 {A}：最小出边 A-B(2) 分量 {B,C,D}：最小出边 A-B(2)（连接A） 添加边 A-B(2) 合并后分量：{A,B,C,D} 算法终止 ，得到最小生成树包含边：B-C(1), C-D(4), A-B(2)，总权重为7。 时间复杂度分析 每次迭代至少将连通分量数量减半 最多需要 O(log|V|) 次迭代 每次迭代的时间复杂度为 O(|E|) 总时间复杂度：O(|E|log|V|) 算法特点 是最早的最小生成树算法之一（1926年提出） 适合并行计算，因为每个分量的最小边查找可以同时进行 在实践中对于某些特定类型的图表现优异 是Kruskal和Prim算法的理论基础之一 Borůvka 算法通过分治策略，逐步合并连通分量，最终构建出完整的最小生成树，体现了贪心算法在组合优化问题中的经典应用。