高斯-勒让德求积公式在带振荡衰减函数积分中的变量替换技巧 我将为您讲解高斯-勒让德求积公式在处理带振荡衰减函数积分时的变量替换技巧。这类积分在物理和工程中很常见，比如计算阻尼振荡系统的能量或电磁场中的辐射模式。 问题描述 考虑计算积分： ∫₀^∞ e^(-x) * sin(10x) dx 这个被积函数包含指数衰减项e^(-x)和快速振荡项sin(10x)，直接使用标准高斯-勒让德求积公式会遇到困难，因为： 积分区间是半无穷区间 [ 0, ∞)，而高斯-勒让德求积公式适用于有限区间 函数在无穷远处衰减缓慢 振荡特性需要密集的采样点才能准确捕捉 解题过程 第一步：区间变换到有限区间 高斯-勒让德求积公式原本定义在区间[ -1, 1 ]上，我们需要先将无穷区间映射到有限区间。 使用变换：t = e^(-x) 或 x = -ln(t) 当x=0时，t=1；当x→∞时，t→0 dx = -dt/t 原积分变为： ∫₀^∞ e^(-x) * sin(10x) dx = ∫₁⁰ t * sin(-10ln(t)) * (-dt/t) = ∫₀¹ sin(-10ln(t)) dt = -∫₀¹ sin(10ln(t)) dt 第二步：处理振荡特性 虽然现在积分区间变成了[ 0, 1 ]，但被积函数sin(10ln(t))在t接近0时振荡非常剧烈，因为： 当t→0时，ln(t)→-∞，10ln(t)→-∞，sin(10ln(t))快速振荡 为了更好地处理这种振荡，我们采用第二种变换： 令u = -ln(t)，则t = e^(-u)，dt = -e^(-u)du 当t=0时，u→∞；当t=1时，u=0 积分变为： -∫₀¹ sin(10ln(t)) dt = -∫_ ∞⁰ sin(-10u) * (-e^(-u)) du = ∫₀^∞ e^(-u) * sin(10u) du 我们发现回到了原积分，这说明需要更精细的处理方法。 第三步：双重指数变换 对于振荡衰减函数，双重指数变换效果很好： 令x = φ(u) = ln(e^u + e^(-u)) 或类似的平滑变换 更实用的方法是使用变换：x = u/(1-u)，将 [ 0,1)映射到 [ 0,∞) dx/du = 1/(1-u)² 原积分变为： ∫₀^∞ e^(-x) * sin(10x) dx = ∫₀¹ e^(-u/(1-u)) * sin(10u/(1-u)) * (1/(1-u)²) du 第四步：应用高斯-勒让德求积公式 现在积分在[ 0,1 ]区间上，可以应用n点高斯-勒让德求积公式： ∫₀¹ f(u) du ≈ Σᵢ₌₁ⁿ wᵢ f(uᵢ) 其中f(u) = e^(-u/(1-u)) * sin(10u/(1-u)) * (1/(1-u)²) wᵢ是权重，uᵢ是[ 0,1]区间上的高斯点（通过线性变换从[ -1,1 ]得到） 第五步：节点和权重的变换 标准高斯-勒让德求积公式给出的是[ -1,1]区间上的节点ξᵢ和权重wᵢ。我们需要将其变换到[ 0,1 ]区间： uᵢ = (ξᵢ + 1)/2 变换后的权重wᵢ' = wᵢ/2 第六步：误差分析和节点数选择 对于振荡函数，需要足够的高斯点来捕捉振荡。经验法则是每个振荡周期至少需要3-4个高斯点。 在我们的例子中，振荡频率为10，主要振荡区域大约在[ 0, 5 ]（因为e^(-5)≈0.0067，衰减明显），共有约50/2π≈8个完整振荡周期。 建议使用至少32-64个高斯点来获得较好精度。 第七步：数值验证 精确解可以通过解析方法得到： ∫₀^∞ e^(-x) * sin(10x) dx = 10/(1+100) = 10/101 ≈ 0.099 使用32点高斯-勒让德求积公式配合上述变换，可以得到约6位有效数字的精度。 关键技巧总结 使用变量变换x = u/(1-u)将无穷区间映射到有限区间 变换后的被积函数在u→1时行为良好 选择足够多的高斯点来解析振荡特性 高斯-勒让德求积公式的高代数精度能有效处理光滑函数 这种方法将困难的振荡衰减无穷积分转化为标准高斯求积问题，充分利用了高斯求积的高精度特性。