区间动态规划例题：鸡蛋掉落问题（K个鸡蛋，N层楼版本） 问题描述 你有 K 个相同的鸡蛋，并可以进入一栋从 1 到 N 层共有 N 层楼的建筑。已知存在一个楼层 F（0 ≤ F ≤ N），从任何低于或等于 F 的楼层扔鸡蛋不会碎，而从任何高于 F 的楼层扔鸡蛋会碎。你的目标是确定 F 的值是多少。每次操作，你可以取一个鸡蛋从某一楼层 X 扔下（1 ≤ X ≤ N）。如果鸡蛋碎了，你就不能再使用这个鸡蛋；如果没碎，你可以继续使用它。你需要找到在最坏情况下，你至少需要扔多少次鸡蛋才能确定 F 的值。 解题过程 我们使用动态规划来解决这个问题。定义状态 dp[k][n] 表示有 k 个鸡蛋和 n 层楼时，在最坏情况下确定 F 所需的最少操作次数。 步骤 1: 状态转移思路 如果鸡蛋数 k = 1，我们只能从低到高逐层尝试，最坏情况需要 n 次操作（从 1 楼开始试到 n 楼）。 如果楼层数 n = 0，不需要任何操作， dp[k][0] = 0 。 对于一般情况（k > 1, n > 0），我们考虑从第 x 层（1 ≤ x ≤ n）扔一次鸡蛋： 如果鸡蛋碎了，那么 F 在 x 层以下，剩余问题为 dp[k-1][x-1] （鸡蛋数减 1，楼层数为 x-1）。 如果鸡蛋没碎，那么 F 在 x 层或以上，剩余问题为 dp[k][n-x] （鸡蛋数不变，楼层数为 n-x）。 由于要保证最坏情况，我们需要取这两种情况的最大值，并加上本次操作（扔一次鸡蛋）。然后遍历所有可能的 x，选择最小值。 状态转移方程： dp[k][n] = min_{1≤x≤n} { max(dp[k-1][x-1], dp[k][n-x]) + 1 } 步骤 2: 初始化 dp[k][0] = 0 （0 层楼不需要操作） dp[1][n] = n （只有 1 个鸡蛋时，最坏需试 n 次） 其他情况可初始化为一个较大值（如无穷大），以便后续更新。 步骤 3: 递推计算 我们按鸡蛋数 k 从 1 到 K，楼层数 n 从 1 到 N 进行双重循环，计算每个 dp[k][n] 。 例如，K=2, N=6： k=1 时， dp[1][n] = n k=2, n=1: 只有 1 层，只需 1 次操作， dp[2][1] = 1 k=2, n=2: 从 1 层试，碎了则 F=0，没碎则再试 2 层，最多 2 次。 dp[2][2] = 2 k=2, n=3: 从 2 层扔，碎了则试 1 层（1 次），没碎则试 3 层（剩余 1 层，1 次），最坏 2 次。 dp[2][3] = 2 继续计算更高楼层。 步骤 4: 优化计算 直接遍历 x 会带来 O(K* N^2) 的时间复杂度，当 N 较大时可能超时。我们可以利用 dp[k-1][x-1] 随 x 递增、 dp[k][n-x] 随 x 递减的性质，使用二分查找优化 x 的搜索过程： 对于固定的 k 和 n，函数 f(x) = max(dp[k-1][x-1], dp[k][n-x]) 是一个先减后增的函数（或单调），最小值点在两者交点附近。 使用二分查找在 x 的范围内快速找到使 dp[k-1][x-1] 和 dp[k][n-x] 最接近的 x，从而减少计算量。 优化后时间复杂度可降为 O(K N logN)。 步骤 5: 边界情况与结果 如果 K=0，无法操作，除非 N=0。 如果 N=0，结果直接为 0。 最终答案为 dp[K][N] 。 总结 这个问题的核心在于将扔鸡蛋的决策转化为对楼层区间的分割，并通过动态规划记录不同鸡蛋和楼层数下的最优解。通过状态转移和优化，我们能够高效求出最坏情况下的最小尝试次数。