基于线性规划的图最小费用循环流问题的原始-对偶近似算法求解示例

我将为您讲解基于线性规划的图最小费用循环流问题的原始-对偶近似算法。这是一个经典的组合优化问题，在运输网络、通信网络等领域有广泛应用。

问题描述

考虑一个有向图G=(V,E)，其中：

• V是顶点集合，|V|=n
• E是边集合，|E|=m
• 每条边e∈E有容量u_e > 0和费用c_e
• 每个顶点v∈V有供需量b_v（∑b_v=0）

最小费用循环流问题要求找到一个流f:E→R，满足：

1. 容量约束：0 ≤ f(e) ≤ u_e, ∀e∈E
2. 流量平衡：∑f(e) - ∑f(e) = b_v, ∀v∈V
3. 总费用最小：∑c_e·f(e)最小

原始-对偶近似算法求解过程

步骤1：建立线性规划模型

原始问题：
min ∑c_e·f(e)
s.t.
流量平衡约束：Af = b
容量约束：0 ≤ f(e) ≤ u_e, ∀e∈E

对偶问题：
max ∑b_v·π_v - ∑u_e·α_e
s.t.
c_e - π_i + π_j - α_e ≥ 0, ∀e=(i,j)∈E
α_e ≥ 0, ∀e∈E

其中π_v是顶点v的对偶变量，α_e是边e的对偶变量。

步骤2：算法初始化

1. 初始化流f(e)=0, ∀e∈E
2. 初始化对偶变量π_v=0, ∀v∈V
3. 初始化对偶变量α_e=0, ∀e∈E
4. 定义残差图G_f，初始时与G相同

步骤3：主循环

while 存在未满足的供需需求 do
// 寻找增广路径
在残差图G_f中，找到从过剩顶点到不足顶点的最短路径P（按约化费用c_π(e)计算）

if 不存在这样的路径 then
    问题无可行解
    break

// 计算增广量
δ = min{ min{u_e - f(e) | e∈P⁺}, min{f(e) | e∈P⁻}, |过剩量|, |不足量| }

// 增广流
for 每条边e∈P⁺ do
    f(e) = f(e) + δ
for 每条边e∈P⁻ do  
    f(e) = f(e) - δ

// 更新对偶变量
for 每个顶点v∈V do
    if v在最短路径树中 then
        π_v = π_v + ε  // ε是适当选择的步长

// 更新残差图
根据新的流值更新残差容量和残差边

end while

步骤4：最优性检验

检查是否满足互补松弛条件：

1. 如果f(e) < u_e，则α_e = 0
2. 如果f(e) > 0，则c_e - π_i + π_j - α_e = 0

步骤5：近似解修正（如果需要）

如果算法没有达到精确最优，可以通过以下方法获得近似解：

1. 对费用进行缩放，使用(1+ε)近似
2. 使用成本修正技术改进解的质量

算法分析

该算法的时间复杂度通常为O(poly(n,m,L))，其中L是输入长度。原始-对偶方法的优势在于：

• 同时维护原始可行解和对偶可行解
• 每次迭代都改进目标函数值
• 自然地提供了最优性证明

实际应用示例

假设有一个简单的运输网络：

• 顶点：工厂A(b=10)，仓库B(b=-5)，客户C(b=-5)
• 边：A→B(容量8,费用2)，A→C(容量6,费用3)，B→C(容量4,费用1)

算法会逐步找到最小费用流：A→B流5单位，A→C流5单位，总费用25。

这个算法在电信网络路由、物流配送、电力系统调度等领域都有重要应用。