基于线性规划的图最小费用循环流问题的原始-对偶近似算法求解示例
字数 2767 2025-11-20 01:29:46

基于线性规划的图最小费用循环流问题的原始-对偶近似算法求解示例

问题描述
给定一个有向图 \(G = (V, E)\)，每条边 \(e \in E\) 有容量 \(u_e > 0\)、单位流量费用 \(c_e \in \mathbb{R}\)，以及节点 \(v \in V\) 的流量需求 \(b_v\)（满足 \(\sum_{v \in V} b_v = 0\)）。目标是找到一可行流 \(f: E \to \mathbb{R}_{\ge 0}\)，满足节点流量平衡约束和边容量约束，且总费用 \(\sum_{e \in E} c_e f_e\) 最小。若所有数据为整数，需设计一原始-对偶近似算法，在保证解可行的前提下逼近最优解。

解题过程

1. 问题建模为线性规划
最小费用循环流问题的标准线性规划形式为：

\[\begin{aligned} \min \quad & \sum_{e \in E} c_e f_e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{e \in \delta^+(v)} f_e - \sum_{e \in \delta^-(v)} f_e = b_v, \quad \forall v \in V \\ & 0 \le f_e \le u_e, \quad \forall e \in E \end{aligned} \]

其中 \(\delta^+(v)\) 和 \(\delta^-(v)\) 分别表示节点 \(v\) 的出边和入边集合。

2. 构造对偶问题
为每条边引入对偶变量 \(p_e \ge 0\)（对应容量约束 \(f_e \le u_e\)），为每个节点引入对偶变量 \(\pi_v\)（无符号限制，对应流量平衡约束）。对偶问题为：

\[\begin{aligned} \max \quad & \sum_{v \in V} b_v \pi_v - \sum_{e \in E} u_e p_e \\ \text{s.t.} \quad & \pi_{u} - \pi_{v} - p_e \le c_e, \quad \forall e = (u,v) \in E \\ & p_e \ge 0, \quad \forall e \in E \end{aligned} \]

对偶约束可改写为 \(p_e \ge \pi_{u} - \pi_{v} - c_e\)，结合目标函数中 \(p_e\) 系数为负，最优解需取 \(p_e = \max(0, \pi_{u} - \pi_{v} - c_e)\)。

3. 原始-对偶算法框架
算法通过动态调整节点势 \(\pi_v\) 和边流量 \(f_e\)，逐步满足互补松弛条件：

  • 原始可行性：流量平衡与容量约束。
  • 对偶可行性：\(p_e = \max(0, \pi_{u} - \pi_{v} - c_e) \ge 0\)。
  • 互补松弛：
    1. 若 \(f_e > 0\)，则 \(\pi_{u} - \pi_{v} - p_e = c_e\)。
    2. 若 \(p_e > 0\)，则 \(f_e = u_e\)。

4. 算法步骤详解
步骤1：初始化

  • 设初始势 \(\pi_v = 0\)（\(\forall v \in V\)），初始流 \(f_e = 0\)。
  • 定义边集 \(E_f = \{ e \in E \mid f_e < u_e \}\)（可增广边）。

步骤2：构造辅助图与最短路径计算

  • 以当前势 \(\pi\) 定义辅助边权：

\[ w_e = \begin{cases} c_e - (\pi_{u} - \pi_{v}) & \text{若 } e = (u,v) \in E_f \ (\text{可增广边}) \\ -(\pi_{u} - \pi_{v}) - c_e & \text{若 } e = (v,u) \in E \text{ 且 } f_e > 0 \ (\text{可减边}) \end{cases} \]

  • 在辅助图中计算从超源 \(s^*\) 到所有节点的最短路径距离 \(d_v\)（使用Bellman-Ford算法处理负权边）。

步骤3：势更新与流量增广

  • 更新节点势：\(\pi_v \leftarrow \pi_v + d_v\)。
  • 沿最短路径增广流量：
    • 对路径上的前向边（属 \(E_f\)），增加流量至容量上限。
    • 对路径上的后向边（对应原图反向边），减少流量至零。
  • 重复步骤2-3直至所有节点流量平衡约束满足。

5. 算法正确性与近似保证

  • 正确性：每次迭代通过最短路径增广保证流量平衡，势更新确保对偶可行性。
  • 近似比：若费用和容量为整数，算法在 \(O(\text{poly}(|V|, |E|))\) 时间内得到最优解（因该问题具完全对偶性，无需近似比）。

6. 实例演示
考虑图 \(G\) 含节点 \(\{1,2,3\}\)，边集与参数：

  • \(e_1 = (1,2): c=2, u=3\)
  • \(e_2 = (2,3): c=1, u=2\)
  • \(e_3 = (3,1): c=0, u=4\)
    需求 \(b_1 = -2, b_2 = 1, b_3 = 1\)。

迭代1：

  • 初始 \(\pi = [0,0,0]\), \(f = [0,0,0]\)。
  • 辅助图边权：\(w_{e_1}=2, w_{e_2}=1, w_{e_3}=0\)。
  • 最短路径：\(1 \to 3\)（权0），增广流量2（经 \(e_3\)），更新 \(f_3 = 2\)。

迭代2：

  • 更新势：\(d=[0, \infty, 0]\)，势不变。
  • 辅助图新增反向边 \((3,1)\) 权0（因 \(f_3>0\)）。
  • 最短路径：\(2 \to 3 \to 1 \to 2\)（经反向边 \((3,1)\) 和 \(e_1\)），增广流量1，更新 \(f_1=1, f_3=1\)。

最终流 \(f_1=1, f_2=1, f_3=1\)，总费用 \(1\times2 + 1\times1 + 1\times0 = 3\)，满足所有约束且最优。

基于线性规划的图最小费用循环流问题的原始-对偶近似算法求解示例 问题描述 给定一个有向图 \( G = (V, E) \)，每条边 \( e \in E \) 有容量 \( u_ e > 0 \)、单位流量费用 \( c_ e \in \mathbb{R} \)，以及节点 \( v \in V \) 的流量需求 \( b_ v \)（满足 \( \sum_ {v \in V} b_ v = 0 \)）。目标是找到一可行流 \( f: E \to \mathbb{R} {\ge 0} \)，满足节点流量平衡约束和边容量约束，且总费用 \( \sum {e \in E} c_ e f_ e \) 最小。若所有数据为整数，需设计一原始-对偶近似算法，在保证解可行的前提下逼近最优解。 解题过程 1. 问题建模为线性规划 最小费用循环流问题的标准线性规划形式为： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {e \in E} c_ e f_ e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {e \in \delta^+(v)} f_ e - \sum_ {e \in \delta^-(v)} f_ e = b_ v, \quad \forall v \in V \\ & 0 \le f_ e \le u_ e, \quad \forall e \in E \end{aligned} \] 其中 \( \delta^+(v) \) 和 \( \delta^-(v) \) 分别表示节点 \( v \) 的出边和入边集合。 2. 构造对偶问题 为每条边引入对偶变量 \( p_ e \ge 0 \)（对应容量约束 \( f_ e \le u_ e \)），为每个节点引入对偶变量 \( \pi_ v \)（无符号限制，对应流量平衡约束）。对偶问题为： \[ \begin{aligned} \max \quad & \sum_ {v \in V} b_ v \pi_ v - \sum_ {e \in E} u_ e p_ e \\ \text{s.t.} \quad & \pi_ {u} - \pi_ {v} - p_ e \le c_ e, \quad \forall e = (u,v) \in E \\ & p_ e \ge 0, \quad \forall e \in E \end{aligned} \] 对偶约束可改写为 \( p_ e \ge \pi_ {u} - \pi_ {v} - c_ e \)，结合目标函数中 \( p_ e \) 系数为负，最优解需取 \( p_ e = \max(0, \pi_ {u} - \pi_ {v} - c_ e) \)。 3. 原始-对偶算法框架 算法通过动态调整节点势 \( \pi_ v \) 和边流量 \( f_ e \)，逐步满足互补松弛条件： 原始可行性 ：流量平衡与容量约束。 对偶可行性 ：\( p_ e = \max(0, \pi_ {u} - \pi_ {v} - c_ e) \ge 0 \)。 互补松弛 ： 若 \( f_ e > 0 \)，则 \( \pi_ {u} - \pi_ {v} - p_ e = c_ e \)。 若 \( p_ e > 0 \)，则 \( f_ e = u_ e \)。 4. 算法步骤详解 步骤1：初始化 设初始势 \( \pi_ v = 0 \)（\( \forall v \in V \)），初始流 \( f_ e = 0 \)。 定义边集 \( E_ f = \{ e \in E \mid f_ e < u_ e \} \)（可增广边）。 步骤2：构造辅助图与最短路径计算 以当前势 \( \pi \) 定义辅助边权： \[ w_ e = \begin{cases} c_ e - (\pi_ {u} - \pi_ {v}) & \text{若 } e = (u,v) \in E_ f \ (\text{可增广边}) \\ -(\pi_ {u} - \pi_ {v}) - c_ e & \text{若 } e = (v,u) \in E \text{ 且 } f_ e > 0 \ (\text{可减边}) \end{cases} \] 在辅助图中计算从超源 \( s^* \) 到所有节点的最短路径距离 \( d_ v \)（使用Bellman-Ford算法处理负权边）。 步骤3：势更新与流量增广 更新节点势：\( \pi_ v \leftarrow \pi_ v + d_ v \)。 沿最短路径增广流量： 对路径上的前向边（属 \( E_ f \)），增加流量至容量上限。 对路径上的后向边（对应原图反向边），减少流量至零。 重复步骤2-3直至所有节点流量平衡约束满足。 5. 算法正确性与近似保证 正确性 ：每次迭代通过最短路径增广保证流量平衡，势更新确保对偶可行性。 近似比 ：若费用和容量为整数，算法在 \( O(\text{poly}(|V|, |E|)) \) 时间内得到最优解（因该问题具完全对偶性，无需近似比）。 6. 实例演示 考虑图 \( G \) 含节点 \( \{1,2,3\} \)，边集与参数： \( e_ 1 = (1,2): c=2, u=3 \) \( e_ 2 = (2,3): c=1, u=2 \) \( e_ 3 = (3,1): c=0, u=4 \) 需求 \( b_ 1 = -2, b_ 2 = 1, b_ 3 = 1 \)。 迭代1 ： 初始 \( \pi = [ 0,0,0] \), \( f = [ 0,0,0 ] \)。 辅助图边权：\( w_ {e_ 1}=2, w_ {e_ 2}=1, w_ {e_ 3}=0 \)。 最短路径：\( 1 \to 3 \)（权0），增广流量2（经 \( e_ 3 \)），更新 \( f_ 3 = 2 \)。 迭代2 ： 更新势：\( d=[ 0, \infty, 0 ] \)，势不变。 辅助图新增反向边 \( (3,1) \) 权0（因 \( f_ 3>0 \)）。 最短路径：\( 2 \to 3 \to 1 \to 2 \)（经反向边 \( (3,1) \) 和 \( e_ 1 \)），增广流量1，更新 \( f_ 1=1, f_ 3=1 \)。 最终流 \( f_ 1=1, f_ 2=1, f_ 3=1 \)，总费用 \( 1\times2 + 1\times1 + 1\times0 = 3 \)，满足所有约束且最优。