基于线性规划的图最大流问题的Goldberg-Tarjan算法求解示例
字数 2287 2025-11-20 01:13:40

基于线性规划的图最大流问题的Goldberg-Tarjan算法求解示例

我将为您详细讲解如何利用Goldberg-Tarjan预流推进算法求解图最大流问题。这个算法是预流推进类算法中效率最高的变体之一，它通过巧妙的数据结构和操作策略实现了优越的时间复杂度。

问题描述

我们有一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)。我们指定两个特殊顶点：源点s和汇点t。最大流问题的目标是找到从s到t的最大流量，满足：

  1. 容量约束：每条边上的流量不超过其容量
  2. 流量守恒：除s和t外，每个顶点的流入量等于流出量

Goldberg-Tarjan算法求解过程

步骤1：算法核心思想理解

Goldberg-Tarjan算法（也称最高标号预流推进算法）的核心思想是：

  • 使用"预流"概念，允许顶点暂时存储超额流量
  • 通过"推进"操作将超额流量推向相邻顶点
  • 使用"重标号"操作调整顶点高度，确保流量能流向汇点
  • 采用"最高标号"策略选择处理顶点，提高效率

步骤2：数据结构初始化

我们使用以下示例图进行说明：

  • 顶点：s, a, b, c, d, t
  • 边及容量：(s,a):10, (s,b):10, (a,b):2, (a,c):8, (a,d):4, (b,d):9, (c,t):10, (d,c):6, (d,t):10

初始化操作：

  1. 高度函数h：h(s)=|V|=6，其他顶点h(v)=0
  2. 预流f：所有边初始流量为0
  3. 超额流量e：e(s)=0，其他顶点e(v)=0
  4. 残量网络：构建初始残量图

步骤3：初始饱和推送

从源点s开始初始饱和推送：

  • 对边(s,a)：推送min(∞,10)=10，更新f(s,a)=10，e(a)=10
  • 对边(s,b)：推送min(∞,10)=10，更新f(s,b)=10，e(b)=10

此时超额流量分布：e(a)=10, e(b)=10

步骤4：主循环 - 最高标号选择策略

算法维护一个队列（实际实现使用桶结构），按高度降序处理有超额流量的顶点。

第一次迭代（选择高度最高的有超额流量顶点）：

  • 当前有超额流量的顶点：a(h=0), b(h=0)
  • 选择顶点a（任意选择，因为高度相同）

对顶点a执行操作：

  1. 检查邻边，发现需要重标号：h(a)=0 < 所有邻接点高度
  2. 重标号：h(a)=min{h(b),h(c),h(d)}+1=1
  3. 现在可以向b,c,d推送流量

步骤5：推送操作详解

从顶点a推送流量：

  • 向c推送：残量容量=8，推送min(e(a),8)=8
    • 更新f(a,c)=8，e(a)=2，e(c)=8
  • 向d推送：残量容量=4，推送min(e(a),4)=2
    • 更新f(a,d)=2，e(a)=0，e(d)=2

此时顶点a的超额流量为0，顶点c,d有超额流量。

步骤6：继续处理其他顶点

选择顶点b（高度0，有超额流量10）：

  1. 需要重标号：h(b)=min{h(a),h(d)}+1=min{1,0}+1=1
  2. 向d推送：残量容量=9，推送min(e(b),9)=9
    • 更新f(b,d)=9，e(b)=1，e(d)=11

选择顶点d（高度0，有超额流量11）：

  1. 需要重标号：h(d)=min{h(a),h(c),h(t)}+1=min{1,0,0}+1=1
  2. 向c推送：残量容量=6，推送min(e(d),6)=6
    • 更新f(d,c)=6，e(d)=5，e(c)=14
  3. 向t推送：残量容量=10，推送min(e(d),10)=5
    • 更新f(d,t)=5，e(d)=0，e(t)=5

步骤7：高度调整与继续推进

现在顶点c有超额流量14，高度0：

  1. 重标号：h(c)=min{h(a),h(d),h(t)}+1=min{1,1,0}+1=1
  2. 发现仍无法推送（邻接点高度不低于c）
  3. 再次重标号：h(c)=min{h(a),h(d),h(t)}+1=min{1,1,0}+1=2
  4. 现在可以向t推送：残量容量=10，推送min(e(c),10)=10
    • 更新f(c,t)=10，e(c)=4，e(t)=15

步骤8：处理剩余超额流量

顶点c仍有超额流量4，高度2：

  • 向a推送：存在反向边(a,c)，残量容量=8，但h(a)=1 < h(c)=2，不能推送
  • 需要再次重标号：h(c)=min{h(a),h(d),h(t)}+1=min{1,1,0}+1=2（不变）
  • 发现矛盾，检查发现应该向d推送：h(d)=1 < h(c)=2
  • 向d推送：残量容量=0（反向边容量），不能推送

顶点b有超额流量1，高度1：

  • 向s推送：h(s)=6 > h(b)=1，不能推送反向流
  • 向a推送：h(a)=1不小于h(b)=1，不能推送
  • 重标号：h(b)=min{h(s),h(a),h(d)}+1=min{6,1,1}+1=2
  • 向a推送：h(a)=1 < h(b)=2，通过反向边(a,b)推送min(e(b),2)=1
    • 更新f(a,b)=-1（反向流），e(b)=0，e(a)=1

步骤9：最终收敛

继续处理直到只有源点s和汇点t有超额流量：

  • 最终汇点t接收的流量为15
  • 所有其他顶点超额流量为0
  • 得到最大流值为15

步骤10：算法特性分析

Goldberg-Tarjan算法的关键优势：

  1. 时间复杂度：O(|V|²√|E|)，比传统的O(|V|²|E|)更优
  2. 最高标号策略确保优先处理"更接近汇点"的顶点
  3. 使用间隙启发式进一步优化性能

这个算法通过巧妙的预流管理和高度标签系统，有效地找到了最大流，避免了传统算法中可能出现的低效路径探索。

基于线性规划的图最大流问题的Goldberg-Tarjan算法求解示例 我将为您详细讲解如何利用Goldberg-Tarjan预流推进算法求解图最大流问题。这个算法是预流推进类算法中效率最高的变体之一，它通过巧妙的数据结构和操作策略实现了优越的时间复杂度。 问题描述 我们有一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)。我们指定两个特殊顶点：源点s和汇点t。最大流问题的目标是找到从s到t的最大流量，满足： 容量约束：每条边上的流量不超过其容量 流量守恒：除s和t外，每个顶点的流入量等于流出量 Goldberg-Tarjan算法求解过程 步骤1：算法核心思想理解 Goldberg-Tarjan算法（也称最高标号预流推进算法）的核心思想是： 使用"预流"概念，允许顶点暂时存储超额流量 通过"推进"操作将超额流量推向相邻顶点 使用"重标号"操作调整顶点高度，确保流量能流向汇点 采用"最高标号"策略选择处理顶点，提高效率 步骤2：数据结构初始化 我们使用以下示例图进行说明： 顶点：s, a, b, c, d, t 边及容量：(s,a):10, (s,b):10, (a,b):2, (a,c):8, (a,d):4, (b,d):9, (c,t):10, (d,c):6, (d,t):10 初始化操作： 高度函数h：h(s)=|V|=6，其他顶点h(v)=0 预流f：所有边初始流量为0 超额流量e：e(s)=0，其他顶点e(v)=0 残量网络：构建初始残量图 步骤3：初始饱和推送 从源点s开始初始饱和推送： 对边(s,a)：推送min(∞,10)=10，更新f(s,a)=10，e(a)=10 对边(s,b)：推送min(∞,10)=10，更新f(s,b)=10，e(b)=10 此时超额流量分布：e(a)=10, e(b)=10 步骤4：主循环 - 最高标号选择策略 算法维护一个队列（实际实现使用桶结构），按高度降序处理有超额流量的顶点。 第一次迭代（选择高度最高的有超额流量顶点）： 当前有超额流量的顶点：a(h=0), b(h=0) 选择顶点a（任意选择，因为高度相同） 对顶点a执行操作： 检查邻边，发现需要重标号：h(a)=0 < 所有邻接点高度 重标号：h(a)=min{h(b),h(c),h(d)}+1=1 现在可以向b,c,d推送流量 步骤5：推送操作详解 从顶点a推送流量： 向c推送：残量容量=8，推送min(e(a),8)=8 更新f(a,c)=8，e(a)=2，e(c)=8 向d推送：残量容量=4，推送min(e(a),4)=2 更新f(a,d)=2，e(a)=0，e(d)=2 此时顶点a的超额流量为0，顶点c,d有超额流量。 步骤6：继续处理其他顶点 选择顶点b（高度0，有超额流量10）： 需要重标号：h(b)=min{h(a),h(d)}+1=min{1,0}+1=1 向d推送：残量容量=9，推送min(e(b),9)=9 更新f(b,d)=9，e(b)=1，e(d)=11 选择顶点d（高度0，有超额流量11）： 需要重标号：h(d)=min{h(a),h(c),h(t)}+1=min{1,0,0}+1=1 向c推送：残量容量=6，推送min(e(d),6)=6 更新f(d,c)=6，e(d)=5，e(c)=14 向t推送：残量容量=10，推送min(e(d),10)=5 更新f(d,t)=5，e(d)=0，e(t)=5 步骤7：高度调整与继续推进 现在顶点c有超额流量14，高度0： 重标号：h(c)=min{h(a),h(d),h(t)}+1=min{1,1,0}+1=1 发现仍无法推送（邻接点高度不低于c） 再次重标号：h(c)=min{h(a),h(d),h(t)}+1=min{1,1,0}+1=2 现在可以向t推送：残量容量=10，推送min(e(c),10)=10 更新f(c,t)=10，e(c)=4，e(t)=15 步骤8：处理剩余超额流量 顶点c仍有超额流量4，高度2： 向a推送：存在反向边(a,c)，残量容量=8，但h(a)=1 < h(c)=2，不能推送 需要再次重标号：h(c)=min{h(a),h(d),h(t)}+1=min{1,1,0}+1=2（不变） 发现矛盾，检查发现应该向d推送：h(d)=1 < h(c)=2 向d推送：残量容量=0（反向边容量），不能推送 顶点b有超额流量1，高度1： 向s推送：h(s)=6 > h(b)=1，不能推送反向流 向a推送：h(a)=1不小于h(b)=1，不能推送 重标号：h(b)=min{h(s),h(a),h(d)}+1=min{6,1,1}+1=2 向a推送：h(a)=1 < h(b)=2，通过反向边(a,b)推送min(e(b),2)=1 更新f(a,b)=-1（反向流），e(b)=0，e(a)=1 步骤9：最终收敛 继续处理直到只有源点s和汇点t有超额流量： 最终汇点t接收的流量为15 所有其他顶点超额流量为0 得到最大流值为15 步骤10：算法特性分析 Goldberg-Tarjan算法的关键优势： 时间复杂度：O(|V|²√|E|)，比传统的O(|V|²|E|)更优 最高标号策略确保优先处理"更接近汇点"的顶点 使用间隙启发式进一步优化性能 这个算法通过巧妙的预流管理和高度标签系统，有效地找到了最大流，避免了传统算法中可能出现的低效路径探索。