最长公共子序列的变种：带字符必须按顺序出现限制的最长公共子序列

让我为您详细讲解这个线性动态规划问题。

问题描述

给定两个字符串s和t，以及一个模式串p，我们需要找到s和t的最长公共子序列，且这个公共子序列必须包含模式串p作为子序列（即p中的字符必须按顺序出现在结果中，但不要求连续）。

示例：

s = "abcde", t = "ace", p = "ce"
最长公共子序列为 "ace"，其中包含 "ce" 作为子序列

解题思路

这个问题是经典最长公共子序列(LCS)问题的变种，我们需要在计算LCS的同时，确保结果包含特定的模式串。

状态定义

我们使用三维动态规划：

• dp[i][j][k] 表示考虑s的前i个字符、t的前j个字符，且已经匹配了p的前k个字符时的最长公共子序列长度。

状态转移方程

对于每个位置(i, j, k)，我们有三种选择：

1. 字符匹配且与p匹配
2. 字符匹配但不与p匹配
3. 字符不匹配

详细解题步骤

步骤1：初始化DP表

def longestCommonSubsequenceWithPattern(s, t, p):
    m, n, l = len(s), len(t), len(p)
    # 创建三维DP表，初始化为0
    dp = [[[0] * (l + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]

步骤2：填充基础情况

当k=0时，表示我们还没有开始匹配模式串p：

• 如果i=0或j=0，LCS长度为0
• 否则按经典LCS方式计算

步骤3：状态转移

for i in range(1, m + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        for k in range(l + 1):
            if s[i-1] == t[j-1]:
                # 字符匹配的情况
                if k > 0 and s[i-1] == p[k-1]:
                    # 当前字符与p的第k个字符匹配
                    dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k-1] + 1)
                # 无论是否与p匹配，都可以选择包含这个字符
                dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k] + 1)
            else:
                # 字符不匹配，继承之前的最佳结果
                dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k])

步骤4：完整算法实现

def longestCommonSubsequenceWithPattern(s, t, p):
    m, n, l = len(s), len(t), len(p)
    dp = [[[0] * (l + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
    
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            for k in range(l + 1):
                # 不包含s[i-1]或t[j-1]的情况
                dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k])
                
                if s[i-1] == t[j-1]:
                    if k > 0 and s[i-1] == p[k-1]:
                        # 匹配p中的字符
                        dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k-1] + 1)
                    # 不匹配p中的字符，但仍然是公共字符
                    dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k] + 1)
    
    # 检查是否完全匹配了模式串p
    if dp[m][n][l] < l:  # 如果最终结果长度小于p的长度，说明没有包含完整的p
        return 0
    return dp[m][n][l]

步骤5：示例演示

让我们用具体例子来理解：

输入：

s = "abcde", t = "ace", p = "ce"

DP表填充过程：

初始化：

dp[0][*][*] = 0
dp[*][0][*] = 0

逐步填充：

• i=1,j=1: s[0]='a', t[0]='a'，匹配但不匹配p，k=0: dp[1][1][0]=1
• i=2,j=2: s[1]='b', t[1]='c'，不匹配
• i=3,j=2: s[2]='c', t[1]='c'，匹配且匹配p[0]='c'，k=1: dp[3][2][1]=2
• i=4,j=3: s[3]='d', t[2]='e'，不匹配
• i=5,j=3: s[4]='e', t[2]='e'，匹配且匹配p[1]='e'，k=2: dp[5][3][2]=3

最终结果： 3（"ace"）

步骤6：复杂度分析

• 时间复杂度： O(m × n × l)，其中m、n、l分别是字符串s、t、p的长度
• 空间复杂度： O(m × n × l)，可以使用滚动数组优化到O(n × l)

步骤7：边界情况处理

1. 空字符串： 如果p为空，退化为经典LCS问题
2. 无解情况： 如果最终dp[m][n][l] < l，说明无法找到包含完整p的公共子序列
3. 模式串比LCS长： 直接返回0

这个算法通过三维DP表巧妙地跟踪了模式串的匹配进度，确保最终结果既是最长公共子序列，又包含指定的模式串。