高斯-埃尔米特求积公式在带边界层函数积分中的变量替换技巧 问题描述 考虑积分问题： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \] 其中被积函数包含边界层特性（例如 \( f(x) = e^{-(x/\varepsilon)^2} \)，\(\varepsilon \ll 1\) 为边界层参数）。直接应用高斯-埃尔米特求积公式可能因节点分布与边界层尺度不匹配导致精度不足。需通过变量替换将边界层特性融入权函数，提升计算效率。 解题步骤 分析问题特性 高斯-埃尔米特公式针对权函数 \( e^{-x^2} \) 设计，节点集中于原点附近。 若 \( f(x) \) 在 \( x = \pm \varepsilon \) 处存在窄边界层，标准节点可能无法捕捉函数剧烈变化，需调整节点分布。 设计变量替换 引入伸缩变换： \[ x = \varepsilon t \] 积分变为： \[ I = \varepsilon \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-(\varepsilon t)^2} f(\varepsilon t) \, dt \] 但此时权函数仍为 \( e^{-(\varepsilon t)^2} \)，与标准高斯-埃尔米特权函数 \( e^{-t^2} \) 不一致。需进一步处理： 构造新权函数 \( w(t) = e^{-t^2} \) 与函数 \( g(t) = \varepsilon e^{-(\varepsilon^2 - 1)t^2} f(\varepsilon t) \)。 若直接替换不匹配，采用 线性叠加法 ：将 \( f(x) \) 拆分为平滑部分与边界层部分，分别处理。 边界层匹配变换 针对 \( f(x) = e^{-(x/\varepsilon)^2} \)，定义变量替换： \[ x = \varepsilon \tanh^{-1}(s), \quad s \in (-1, 1) \] 积分变为： \[ I = \varepsilon \int_ {-1}^{1} e^{-[ \varepsilon \tanh^{-1}(s) ]^2} f(\varepsilon \tanh^{-1}(s)) \cdot \frac{1}{1 - s^2} \, ds \] 此时积分区间有限，但权函数复杂。进一步通过 雅可比权重调整 ： 将 \( \frac{1}{1 - s^2} \) 部分吸收到函数中，剩余部分用高斯-切比雪夫公式处理。 最终结合高斯-埃尔米特公式计算无穷区间积分。 混合求积公式应用 将积分拆分为： \[ I = \int_ {|x| \leq \delta} e^{-x^2} f(x) \, dx + \int_ {|x| > \delta} e^{-x^2} f(x) \, dx \] 第一项用高斯-埃尔米特公式计算（节点加密）。 第二项通过变量替换 \( x = \delta + t \) 转换为有限区间积分，再用龙贝格法计算。 误差控制与节点优化 比较替换前后余项：原公式余项 \( R_ n \propto f^{(2n)}(\xi) \)，替换后需评估边界层尺度对导数的影响。 通过调整替换参数（如 \(\varepsilon\) 的伸缩因子），使节点密度与边界层宽度匹配，最小化截断误差。 总结 通过变量替换将边界层特性转化为权函数的调整，或通过积分区域分解结合不同求积法，可显著提升高斯-埃尔米特公式对边界层函数积分的精度。关键是根据边界层位置与尺度设计替换函数，确保节点分布覆盖函数剧烈变化区域。