蒙特卡洛积分法在带边界约束的多元函数积分中的分层采样技术
题目描述
计算一个多元函数在有界区域上的积分，例如：
\[I = \int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} \cdots \int_{a_d}^{b_d} f(x_1, x_2, \dots, x_d) \, dx_d \cdots dx_2 dx_1 \]
其中积分区域是一个 \(d\) 维超立方体，\(f\) 是一个多元函数。要求使用蒙特卡洛积分法，并采用分层采样技术来提高计算精度。
解题过程
蒙特卡洛积分法通过随机采样来估计积分值，但在高维情况下，简单随机采样可能方差较大。分层采样通过将积分区域划分为若干子区域，并在每个子区域内独立采样，能够有效降低方差。
步骤1：理解基础蒙特卡洛积分公式
对于积分 \(I = \int_{\Omega} f(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x}\)，其中 \(\Omega\) 是体积为 \(V\) 的区域，基础蒙特卡洛估计为：
\[I \approx \frac{V}{N} \sum_{i=1}^N f(\mathbf{x}_i) \]
其中 \(\mathbf{x}_i\) 是在 \(\Omega\) 内均匀随机采样的点。估计的方差为 \(\frac{\sigma^2}{N}\)，\(\sigma^2\) 是 \(f\) 在 \(\Omega\) 上的方差。
步骤2：引入分层采样思想
- 区域划分：将积分区域 \(\Omega\) 划分为 \(m\) 个互不相交的子区域 \(\Omega_1, \Omega_2, \dots, \Omega_m\)，满足：
\[ \Omega = \bigcup_{j=1}^m \Omega_j, \quad \Omega_j \cap \Omega_k = \emptyset \ (j \neq k) \]
每个子区域的体积为 \(V_j\)。
-
分层采样：在每个子区域 \(\Omega_j\) 内独立采样 \(n_j\) 个点，总采样数 \(N = \sum_{j=1}^m n_j\)。在 \(\Omega_j\) 内的采样点记为 \(\mathbf{x}_{j,k} \ (k=1,\dots,n_j)\)。
-
积分估计：总积分可分解为子区域积分之和：
\[ I = \sum_{j=1}^m \int_{\Omega_j} f(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} \]
每个子区域的积分用蒙特卡洛估计：
\[ \int_{\Omega_j} f(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} \approx \frac{V_j}{n_j} \sum_{k=1}^{n_j} f(\mathbf{x}_{j,k}) \]
整体积分估计为：
\[ \hat{I}_{\text{strat}} = \sum_{j=1}^m \frac{V_j}{n_j} \sum_{k=1}^{n_j} f(\mathbf{x}_{j,k}) \]
步骤3：分层采样的方差分析
分层采样估计的方差为：
\[\text{Var}(\hat{I}_{\text{strat}}) = \sum_{j=1}^m \frac{V_j^2}{n_j} \sigma_j^2 \]
其中 \(\sigma_j^2\) 是 \(f\) 在子区域 \(\Omega_j\) 上的方差。通过合理划分子区域，使每个子区域内 \(f\) 的波动减小（即 \(\sigma_j^2\) 变小），总方差将低于简单蒙特卡洛的方差 \(\frac{\sigma^2}{N}\)。
步骤4：均匀分层与比例分配
- 均匀分层：将每个维度等分为 \(r\) 份，总子区域数 \(m = r^d\)。每个子区域体积相同，\(V_j = V/m\)。
- 采样分配：若每个子区域采样数相同，\(n_j = N/m\)，则估计公式简化为：
\[ \hat{I}_{\text{strat}} = \frac{V}{N} \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} f(\mathbf{x}_{j,k}) \]
步骤5：实例演示
以二维积分 \(I = \int_0^1 \int_0^1 f(x, y) \, dy \, dx\) 为例：
- 划分区域：将 \([0,1] \times [0,1]\) 划分为 \(4\) 个正方形子区域（每个维度分为 \(2\) 份）。
- 采样：每个子区域采样 \(25\) 个点，总采样数 \(N=100\)。
- 计算估计值：对每个子区域应用蒙特卡洛公式，求和得到整体估计。
步骤6：优势与注意事项
- 优势：分层采样能显著降低方差，尤其适用于函数在不同区域变化剧烈的场景。
- 注意事项：
- 子区域划分需基于函数特性（如梯度变化）。
- 高维时可能遇到“维度灾难”，需权衡子区域数量和采样数。
- 可通过自适应分层动态调整划分，进一步提升效率。
通过以上步骤，分层采样蒙特卡洛法在保持无偏性的同时，以更低方差实现高精度积分估计。