高斯-埃尔米特求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧

字数 2101 2025-11-19 20:26:28

高斯-埃尔米特求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧

题目描述
计算半无穷区间积分

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \cdot \frac{\sin(10x)}{1+x} \, dx \]

该被积函数结合了指数衰减 \(e^{-x^2}\) 与高频振荡 \(\sin(10x)\)，且在 \(x=0\) 附近存在缓慢衰减的分母 \(1/(1+x)\)。直接应用高斯-埃尔米特求积公式可能因振荡和边界行为导致精度不足，需通过正则化变换优化积分性能。

解题过程

问题分析与挑战
- 被积函数 \(f(x) = e^{-x^2} \frac{\sin(10x)}{1+x}\) 包含三部分特性：
  - 指数衰减项 \(e^{-x^2}\)：与高斯-埃尔米特求积公式的权函数 \(e^{-x^2}\) 匹配，但积分区间为 \([0, \infty)\)，需调整至标准形式 \((-\infty, \infty)\)。
  - 高频振荡 \(\sin(10x)\)：导致函数值频繁正负交替，需密集节点捕捉振荡细节。
  - 分母 \(1/(1+x)\)：在 \(x=0\) 处引入缓慢衰减，可能放大边界误差。
- 直接应用高斯-埃尔米特公式时，振荡和边界效应会降低多项式逼近效率，需通过变量变换改善被积函数平滑性。
区间调整与对称化
- 高斯-埃尔米特公式的标准区间为 \((-\infty, \infty)\)，而原积分下限为 0。通过变量替换 \(x = t\) 将积分写为：

\[ I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \frac{\sin(10x)}{1+x} dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \frac{\sin(10|x|)}{1+|x|} dx \]

 此步骤将区间扩展至全实数轴，但被积函数在 $x=0$ 处不可导，可能影响收敛速度。

正则化变换设计
- 为消除分母 \(1/(1+x)\) 的边界影响并平滑函数，引入变换 \(x = \phi(t) = \ln(1 + e^t)\)：
  - 导数：\(\frac{dx}{dt} = \frac{e^t}{1+e^t}\)，当 \(t \to -\infty\) 时 \(x \to 0\)，当 \(t \to \infty\) 时 \(x \to \infty\)。
  - 积分变为：

\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-[\phi(t)]^2} \cdot \frac{\sin(10\phi(t))}{1+\phi(t)} \cdot \frac{e^t}{1+e^t} dt \]

 - 新被积函数 $g(t) = e^{-[\phi(t)]^2} \frac{\sin(10\phi(t))}{1+\phi(t)} \frac{e^t}{1+e^t}$ 在全区间无限可导，因变换消除了 $x=0$ 处的奇异性。

变换后，函数振荡被平滑处理，高斯-埃尔米特公式可直接应用。

高斯-埃尔米特求积公式应用
- 公式形式：\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} h(t) dt \approx \sum_{i=1}^n w_i h(t_i)\)，其中 \(t_i\) 和 \(w_i\) 为埃尔米特多项式的节点和权重。
- 令 \(h(t) = g(t) e^{t^2}\)，则积分近似为：

\[ I \approx \sum_{i=1}^n w_i \cdot g(t_i) e^{t_i^2} = \sum_{i=1}^n w_i \cdot \frac{\sin(10\phi(t_i))}{1+\phi(t_i)} \cdot \frac{e^{t_i}}{1+e^{t_i}} \cdot e^{t_i^2 - [\phi(t_i)]^2} \]

节点数 \(n\) 需根据振荡频率选择：经验上 \(n > 2 \times \text{频率}\)，此处频率为 10，建议 \(n \geq 25\)。

误差控制与收敛验证
- 高斯-埃尔米特公式的误差依赖于被积函数光滑性，正则化变换后 \(g(t)\) 的导数有界，误差以 \(O(n^{-k})\) 形式衰减（\(k\) 与光滑度相关）。
- 实际计算中，可通过增加 \(n\) 并观察结果变化验证收敛。例如，比较 \(n=20, 30, 40\) 的结果，若相对误差小于 \(10^{-6}\) 即可接受。
- 替代方案：若振荡导致收敛缓慢，可结合分段策略，在振荡区间使用更高阶公式。

总结
通过正则化变换 \(x = \ln(1+e^t)\)，将原积分转化为光滑函数在 \((-\infty, \infty)\) 上的积分，再利用高斯-埃尔米特求积公式计算。此方法有效处理了振荡和边界衰减问题，显著提升精度。实际应用时需根据振荡频率调整节点数，并通过收敛测试确保结果可靠性。

高斯-埃尔米特求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧题目描述计算半无穷区间积分 \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x^2} \cdot \frac{\sin(10x)}{1+x} \, dx \] 该被积函数结合了指数衰减 \(e^{-x^2}\) 与高频振荡 \(\sin(10x)\)，且在 \(x=0\) 附近存在缓慢衰减的分母 \(1/(1+x)\)。直接应用高斯-埃尔米特求积公式可能因振荡和边界行为导致精度不足，需通过正则化变换优化积分性能。解题过程问题分析与挑战被积函数 \(f(x) = e^{-x^2} \frac{\sin(10x)}{1+x}\) 包含三部分特性：指数衰减项 \(e^{-x^2}\)：与高斯-埃尔米特求积公式的权函数 \(e^{-x^2}\) 匹配，但积分区间为 \( [ 0, \infty)\)，需调整至标准形式 \((-\infty, \infty)\)。高频振荡 \(\sin(10x)\)：导致函数值频繁正负交替，需密集节点捕捉振荡细节。分母 \(1/(1+x)\)：在 \(x=0\) 处引入缓慢衰减，可能放大边界误差。直接应用高斯-埃尔米特公式时，振荡和边界效应会降低多项式逼近效率，需通过变量变换改善被积函数平滑性。区间调整与对称化高斯-埃尔米特公式的标准区间为 \((-\infty, \infty)\)，而原积分下限为 0。通过变量替换 \(x = t\) 将积分写为： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x^2} \frac{\sin(10x)}{1+x} dx = \frac{1}{2} \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \frac{\sin(10|x|)}{1+|x|} dx \] 此步骤将区间扩展至全实数轴，但被积函数在 \(x=0\) 处不可导，可能影响收敛速度。正则化变换设计为消除分母 \(1/(1+x)\) 的边界影响并平滑函数，引入变换 \(x = \phi(t) = \ln(1 + e^t)\)：导数：\(\frac{dx}{dt} = \frac{e^t}{1+e^t}\)，当 \(t \to -\infty\) 时 \(x \to 0\)，当 \(t \to \infty\) 时 \(x \to \infty\)。积分变为： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-[ \phi(t) ]^2} \cdot \frac{\sin(10\phi(t))}{1+\phi(t)} \cdot \frac{e^t}{1+e^t} dt \] 新被积函数 \(g(t) = e^{-[ \phi(t) ]^2} \frac{\sin(10\phi(t))}{1+\phi(t)} \frac{e^t}{1+e^t}\) 在全区间无限可导，因变换消除了 \(x=0\) 处的奇异性。变换后，函数振荡被平滑处理，高斯-埃尔米特公式可直接应用。高斯-埃尔米特求积公式应用公式形式：\(\int_ {-\infty}^{\infty} e^{-t^2} h(t) dt \approx \sum_ {i=1}^n w_ i h(t_ i)\)，其中 \(t_ i\) 和 \(w_ i\) 为埃尔米特多项式的节点和权重。令 \(h(t) = g(t) e^{t^2}\)，则积分近似为： \[ I \approx \sum_ {i=1}^n w_ i \cdot g(t_ i) e^{t_ i^2} = \sum_ {i=1}^n w_ i \cdot \frac{\sin(10\phi(t_ i))}{1+\phi(t_ i)} \cdot \frac{e^{t_ i}}{1+e^{t_ i}} \cdot e^{t_ i^2 - [ \phi(t_ i) ]^2} \] 节点数 \(n\) 需根据振荡频率选择：经验上 \(n > 2 \times \text{频率}\)，此处频率为 10，建议 \(n \geq 25\)。误差控制与收敛验证高斯-埃尔米特公式的误差依赖于被积函数光滑性，正则化变换后 \(g(t)\) 的导数有界，误差以 \(O(n^{-k})\) 形式衰减（\(k\) 与光滑度相关）。实际计算中，可通过增加 \(n\) 并观察结果变化验证收敛。例如，比较 \(n=20, 30, 40\) 的结果，若相对误差小于 \(10^{-6}\) 即可接受。替代方案：若振荡导致收敛缓慢，可结合分段策略，在振荡区间使用更高阶公式。总结通过正则化变换 \(x = \ln(1+e^t)\)，将原积分转化为光滑函数在 \((-\infty, \infty)\) 上的积分，再利用高斯-埃尔米特求积公式计算。此方法有效处理了振荡和边界衰减问题，显著提升精度。实际应用时需根据振荡频率调整节点数，并通过收敛测试确保结果可靠性。