高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的自适应区域分解技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

其中 \(f(x)\) 是光滑函数，但积分核 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在端点 \(x = \pm 1\) 处具有奇异性（被积函数趋于无穷大）。要求通过高斯-勒让德求积公式结合自适应区域分解技巧，高效且精确地近似该积分。

解题过程

1. 问题分析

   • 积分核 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在端点 \(\pm 1\) 处不可积（属于弱奇异性），但若 \(f(x)\) 光滑，积分仍可收敛。
   • 直接应用标准高斯-勒让德求积公式（适用于一般光滑函数）在奇点附近会因节点分布不足而导致误差较大。
   • 自适应区域分解的核心思想：将积分区间拆分为多个子区间，在奇点附近使用更密集的节点，从而提高整体精度。

2. 高斯-勒让德求积公式回顾

   • \(n\) 点高斯-勒让德公式近似积分 \(\int_{-1}^{1} g(x) \, dx\) 为：

\[ \int_{-1}^{1} g(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i g(x_i) \]

 其中 $ x_i $ 是勒让德多项式 $ P_n(x) $ 的根，$ w_i $ 为对应权重。  

• 本问题中 \(g(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\)，但直接应用时 \(g(x)\) 在端点处无定义，需特殊处理。

3. 自适应区域分解策略
   • 步骤1：将区间 \([-1, 1]\) 分解为中间主区域和端点邻域。例如：

\[ [-1, 1] = [-1, -1+\delta] \cup [-1+\delta, 1-\delta] \cup [1-\delta, 1] \]

 其中 $ \delta > 0 $ 是一个小参数（如 $ \delta = 0.1 $），用于隔离奇点。  

• 步骤2：
  • 在中间区域 \([-1+\delta, 1-\delta]\)，直接应用高斯-勒让德求积（因被积函数在此处光滑）。
  • 在端点区域 \([-1, -1+\delta]\) 和 \([1-\delta, 1]\)，通过变量替换消除奇异性，再应用高斯-勒让德求积。

4. 端点区域的变量替换
   • 以右端点区域 \([1-\delta, 1]\) 为例，令：

\[ x = 1 - \frac{\delta}{2} (1 - t), \quad t \in [-1, 1] \]

 则积分变为：  

\[ \int_{1-\delta}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \frac{\delta}{2} \int_{-1}^{1} \frac{f(1 - \frac{\delta}{2}(1-t))}{\sqrt{\delta(1-t) - \frac{\delta^2}{4}(1-t)^2}} \, dt \]

 通过展开简化分母，保留主要奇异性项，避免直接计算无穷值。  

• 类似处理左端点区域 \([-1, -1+\delta]\)。

5. 自适应细化与误差控制

   • 若某个子区间的误差估计值超过预设容差，则将该子区间进一步分解为更小的区间，递归应用高斯-勒让德求积。
   • 误差估计可通过比较不同节点数（如 \(n\) 和 \(2n\)）的结果差异来实现。

6. 算法总结

   • 输入：函数 \(f(x)\)，容差 \(\epsilon\)，初始划分参数 \(\delta\)。
   • 过程：
     1. 将区间分解为中间区域和端点区域。
     2. 对每个子区间应用高斯-勒让德求积，并估计误差。
     3. 若误差超限，则细分该子区间并重复步骤2。
   • 输出：满足精度要求的积分近似值。

关键点

• 通过区域分解隔离奇点，避免直接计算无穷值。
• 在端点邻域通过变量替换弱化奇异性，使高斯-勒让德公式有效。
• 自适应细分确保在奇点附近分配更多计算资源，平衡效率与精度。