非线性规划中的序列线性整数规划法进阶题
字数 3248 2025-11-19 17:20:33

非线性规划中的序列线性整数规划法进阶题

题目描述
考虑非线性整数规划问题：
最小化 \(f(x)1 + x_2^2\)
约束条件：

  1. \(g_1(x) = x_1^2 + x_2 - 1.5 \leq 0\)
  2. \(g_2(x) = -x_1 + 2x_2 - 3 \leq 0\)
  3. \(x_1, x_2\) 为非负整数
    其中，初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，信赖域半径初始值 \(\Delta_0 = 1\)。通过序列线性整数规划（SLIP）方法求解该问题，逐步构造线性子问题并更新迭代点。

解题过程

  1. 问题分析

    • 目标函数 \(f(x)\) 为非线性（含 \(x_2^2\) 项），约束 \(g_1(x)\) 为非线性，\(g_2(x)\) 为线性。
    • 决策变量需为整数，需在每次迭代中求解混合整数线性规划（MILP）子问题。
    • SLIP方法通过线性化目标函数和约束，在信赖域内求解MILP子问题，逐步逼近原问题解。

  2. 初始步骤

    • 初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，计算函数值及梯度：
      • \(f(x^{(0)}) = 0^2 + 0^2 = 0\)
      • \(\nabla f(x) = (2x_1, 2x_2)\)，故 \(\nabla f(x^{(0)}) = (0, 0)\)
      • \(g_1(x^{(0)}) = 0 + 0 - 1.5 = -1.5 \leq 0\)（可行）
      • \(g_2(x^{(0)}) = -0 + 0 - 3 = -3 \leq 0\)（可行）
    • 初始信赖域半径 \(\Delta_0 = 1\)。

  3. 第一次迭代（k=0）

    • 线性化子问题：在 \(x^{(0)}\) 处对 \(f(x)\) 和 \(g_1(x)\) 进行一阶泰勒展开（\(g_2(x)\) 已是线性）：
      • 线性化目标：\(f(x) \approx f(x^{(0)}) + \nabla f(x^{(0)})^T (x - x^{(0)}) = 0\)
      • 线性化 \(g_1(x) \approx g_1(x^{(0)}) + \nabla g_1(x^{(0)})^T (x - x^{(0)})\)，其中 \(\nabla g_1(x) = (2x_1, 1)\)，故 \(\nabla g_1(x^{(0)}) = (0, 1)\)，得 \(g_1(x) \approx -1.5 + (0, 1)^T (x_1, x_2) = x_2 - 1.5\)
    • MILP子问题：
      最小化 \(0\)
      约束：
      1. \(x_2 - 1.5 \leq 0\)
      2. \(-x_1 + 2x_2 - 3 \leq 0\)
      3. \(|x_1 - 0| \leq 1\)，\(|x_2 - 0| \leq 1\)（信赖域约束）
      4. \(x_1, x_2 \geq 0\) 且为整数
    • 求解子问题：目标为常数，只需找可行点。满足约束的整数解包括 \((0,0), (1,0), (0,1)\)。选择 \(x^{(1)} = (0, 1)\)（目标值不变，但探索新点）。
    • 实际改进评估：
      • 实际函数值 \(f(x^{(1)}) = 0 + 1^2 = 1\)
      • 预测改进量 \(\Delta f_{\text{pred}} = 0 - 0 = 0\)
      • 实际改进量 \(\Delta f_{\text{actual}} = f(x^{(0)}) - f(x^{(1)}) = 0 - 1 = -1\)（恶化）
    • 更新信赖域：改进率 \(\rho = \frac{-1}{0}\) 无定义（分母为零），视为 \(\rho < 0\)。拒绝该点，缩小信赖域 \(\Delta_1 = 0.5\)，保持 \(x^{(1)} = x^{(0)} = (0,0)\)。

  4. 第二次迭代（k=1）

    • 线性化子问题（仍在 \(x^{(1)} = (0,0)\)）：
      • 目标函数线性化：\(f(x) \approx 0\)
      • \(g_1(x) \approx x_2 - 1.5\)
    • MILP子问题：
      最小化 \(0\)
      约束：
      1. \(x_2 - 1.5 \leq 0\)
      2. \(-x_1 + 2x_2 - 3 \leq 0\)
      3. \(|x_1 - 0| \leq 0.5\)，\(|x_2 - 0| \leq 0.5\)
      4. \(x_1, x_2 \geq 0\) 且为整数
    • 求解子问题：唯一可行解为 \((0,0)\)，故 \(x^{(2)} = (0,0)\)。
    • 结果：无改进，进一步缩小信赖域 \(\Delta_2 = 0.25\)。

  5. 第三次迭代（k=2）

    • 过程同前，唯一可行解仍为 \((0,0)\)。此时需调整策略：由于线性化目标为零导致子问题退化，改为精确线性化或调整初始点。
    • 修正：在 \(x^{(2)} = (0,0)\) 处，线性化目标实际为常数，但梯度为零是因初始点选择。改从 \(x^{(0)} = (1,1)\) 重启（需验证可行性）：
      • \(f(1,1) = 1 + 1 = 2\)
      • \(g_1(1,1) = 1 + 1 - 1.5 = 0.5 > 0\)（不可行），因此不能直接使用。
    • 改为使用可行点 \((0,1)\)（虽目标较差，但可行）：
      • \(x^{(0)} = (0,1)\)，\(f = 1\)，\(\nabla f = (0, 2)\)
      • 线性化目标：\(f(x) \approx 1 + (0, 2)^T (x_1 - 0, x_2 - 1) = 1 + 2(x_2 - 1) = 2x_2 - 1\)
      • \(g_1(x) \approx 0.5 + (0,1)^T (x_1, x_2 - 1) = x_2 - 0.5\)
    • MILP子问题（\(\Delta_0 = 1\)）：
      最小化 \(2x_2 - 1\)
      约束：
      1. \(x_2 - 0.5 \leq 0\)
      2. \(-x_1 + 2x_2 - 3 \leq 0\)
      3. \(|x_1 - 0| \leq 1\)，\(|x_2 - 1| \leq 1\)
      4. \(x_1, x_2 \geq 0\) 且为整数
    • 求解得 \(x_2 \leq 0.5\)，结合整数约束 \(x_2 = 0\) 或 \(1\)。但 \(x_2 = 1\) 时 \(g_1 \approx 0.5 > 0\)（违反），故 \(x_2 = 0\)。代入得 \(x_1 \geq -3\)（总满足），选 \(x_1 = 0\)（最小化目标无影响）。得 \(x^{(1)} = (0,0)\)。
    • 实际 \(f(0,0) = 0 < f(0,1) = 1\)，改进有效，接受该点。

  6. 最终结果

    • 从 \((0,1)\) 移动到 \((0,0)\) 后，目标值由 1 降为 0，且满足所有约束。
    • 进一步迭代：在 \((0,0)\) 线性化目标为零，子问题无更优解，故算法终止。
    • 最优解：\(x^* = (0,0)\)，\(f(x^*) = 0\)，约束均满足。

关键点总结

  • SLIP通过迭代求解线性化后的MILP子问题处理整数约束。
  • 信赖域控制步长，避免线性化误差过大。
  • 目标函数梯度为零时，子问题可能退化，需调整初始点或线性化策略。
  • 整数约束可能使问题陷入局部解，需结合全局优化技巧（如多起点）进一步改进。
非线性规划中的序列线性整数规划法进阶题 题目描述 考虑非线性整数规划问题： 最小化 \( f(x)1 + x_ 2^2 \) 约束条件： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 + x_ 2 - 1.5 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = -x_ 1 + 2x_ 2 - 3 \leq 0 \) \( x_ 1, x_ 2 \) 为非负整数 其中，初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，信赖域半径初始值 \( \Delta_ 0 = 1 \)。通过序列线性整数规划（SLIP）方法求解该问题，逐步构造线性子问题并更新迭代点。 解题过程 问题分析 目标函数 \( f(x) \) 为非线性（含 \( x_ 2^2 \) 项），约束 \( g_ 1(x) \) 为非线性，\( g_ 2(x) \) 为线性。 决策变量需为整数，需在每次迭代中求解混合整数线性规划（MILP）子问题。 SLIP方法通过线性化目标函数和约束，在信赖域内求解MILP子问题，逐步逼近原问题解。 初始步骤 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，计算函数值及梯度： \( f(x^{(0)}) = 0^2 + 0^2 = 0 \) \( \nabla f(x) = (2x_ 1, 2x_ 2) \)，故 \( \nabla f(x^{(0)}) = (0, 0) \) \( g_ 1(x^{(0)}) = 0 + 0 - 1.5 = -1.5 \leq 0 \)（可行） \( g_ 2(x^{(0)}) = -0 + 0 - 3 = -3 \leq 0 \)（可行） 初始信赖域半径 \( \Delta_ 0 = 1 \)。 第一次迭代（k=0） 线性化子问题 ：在 \( x^{(0)} \) 处对 \( f(x) \) 和 \( g_ 1(x) \) 进行一阶泰勒展开（\( g_ 2(x) \) 已是线性）： 线性化目标：\( f(x) \approx f(x^{(0)}) + \nabla f(x^{(0)})^T (x - x^{(0)}) = 0 \) 线性化 \( g_ 1(x) \approx g_ 1(x^{(0)}) + \nabla g_ 1(x^{(0)})^T (x - x^{(0)}) \)，其中 \( \nabla g_ 1(x) = (2x_ 1, 1) \)，故 \( \nabla g_ 1(x^{(0)}) = (0, 1) \)，得 \( g_ 1(x) \approx -1.5 + (0, 1)^T (x_ 1, x_ 2) = x_ 2 - 1.5 \) MILP子问题 ： 最小化 \( 0 \) 约束： \( x_ 2 - 1.5 \leq 0 \) \( -x_ 1 + 2x_ 2 - 3 \leq 0 \) \( |x_ 1 - 0| \leq 1 \)，\( |x_ 2 - 0| \leq 1 \)（信赖域约束） \( x_ 1, x_ 2 \geq 0 \) 且为整数 求解子问题 ：目标为常数，只需找可行点。满足约束的整数解包括 \( (0,0), (1,0), (0,1) \)。选择 \( x^{(1)} = (0, 1) \)（目标值不变，但探索新点）。 实际改进评估 ： 实际函数值 \( f(x^{(1)}) = 0 + 1^2 = 1 \) 预测改进量 \( \Delta f_ {\text{pred}} = 0 - 0 = 0 \) 实际改进量 \( \Delta f_ {\text{actual}} = f(x^{(0)}) - f(x^{(1)}) = 0 - 1 = -1 \)（恶化） 更新信赖域 ：改进率 \( \rho = \frac{-1}{0} \) 无定义（分母为零），视为 \( \rho < 0 \)。拒绝该点，缩小信赖域 \( \Delta_ 1 = 0.5 \)，保持 \( x^{(1)} = x^{(0)} = (0,0) \)。 第二次迭代（k=1） 线性化子问题 （仍在 \( x^{(1)} = (0,0) \)）： 目标函数线性化：\( f(x) \approx 0 \) \( g_ 1(x) \approx x_ 2 - 1.5 \) MILP子问题 ： 最小化 \( 0 \) 约束： \( x_ 2 - 1.5 \leq 0 \) \( -x_ 1 + 2x_ 2 - 3 \leq 0 \) \( |x_ 1 - 0| \leq 0.5 \)，\( |x_ 2 - 0| \leq 0.5 \) \( x_ 1, x_ 2 \geq 0 \) 且为整数 求解子问题 ：唯一可行解为 \( (0,0) \)，故 \( x^{(2)} = (0,0) \)。 结果 ：无改进，进一步缩小信赖域 \( \Delta_ 2 = 0.25 \)。 第三次迭代（k=2） 过程同前，唯一可行解仍为 \( (0,0) \)。此时需调整策略：由于线性化目标为零导致子问题退化，改为精确线性化或调整初始点。 修正 ：在 \( x^{(2)} = (0,0) \) 处，线性化目标实际为常数，但梯度为零是因初始点选择。改从 \( x^{(0)} = (1,1) \) 重启（需验证可行性）： \( f(1,1) = 1 + 1 = 2 \) \( g_ 1(1,1) = 1 + 1 - 1.5 = 0.5 > 0 \)（不可行），因此不能直接使用。 改为使用可行点 \( (0,1) \)（虽目标较差，但可行）： \( x^{(0)} = (0,1) \)，\( f = 1 \)，\( \nabla f = (0, 2) \) 线性化目标：\( f(x) \approx 1 + (0, 2)^T (x_ 1 - 0, x_ 2 - 1) = 1 + 2(x_ 2 - 1) = 2x_ 2 - 1 \) \( g_ 1(x) \approx 0.5 + (0,1)^T (x_ 1, x_ 2 - 1) = x_ 2 - 0.5 \) MILP子问题 （\( \Delta_ 0 = 1 \)）： 最小化 \( 2x_ 2 - 1 \) 约束： \( x_ 2 - 0.5 \leq 0 \) \( -x_ 1 + 2x_ 2 - 3 \leq 0 \) \( |x_ 1 - 0| \leq 1 \)，\( |x_ 2 - 1| \leq 1 \) \( x_ 1, x_ 2 \geq 0 \) 且为整数 求解得 \( x_ 2 \leq 0.5 \)，结合整数约束 \( x_ 2 = 0 \) 或 \( 1 \)。但 \( x_ 2 = 1 \) 时 \( g_ 1 \approx 0.5 > 0 \)（违反），故 \( x_ 2 = 0 \)。代入得 \( x_ 1 \geq -3 \)（总满足），选 \( x_ 1 = 0 \)（最小化目标无影响）。得 \( x^{(1)} = (0,0) \)。 实际 \( f(0,0) = 0 < f(0,1) = 1 \)，改进有效，接受该点。 最终结果 从 \( (0,1) \) 移动到 \( (0,0) \) 后，目标值由 1 降为 0，且满足所有约束。 进一步迭代：在 \( (0,0) \) 线性化目标为零，子问题无更优解，故算法终止。 最优解 ：\( x^* = (0,0) \)，\( f(x^* ) = 0 \)，约束均满足。 关键点总结 SLIP通过迭代求解线性化后的MILP子问题处理整数约束。 信赖域控制步长，避免线性化误差过大。 目标函数梯度为零时，子问题可能退化，需调整初始点或线性化策略。 整数约束可能使问题陷入局部解，需结合全局优化技巧（如多起点）进一步改进。