区间动态规划例题：最长重复子数组问题（带重叠限制） 题目描述： 给定两个整数数组A和B，要求找到这两个数组中具有相同子数组长度的最长重复子数组。但是这里有一个额外的限制条件：在匹配过程中，允许子数组有最多k个位置不匹配（即允许最多k个字符不同），同时要求匹配的子数组在各自数组中的位置不能有重叠。 解题过程： 问题分析： 我们需要在两个数组A和B中找到最长的公共子数组 允许最多k个位置不匹配，这增加了问题的灵活性 位置不能重叠意味着一旦某个子数组被匹配，其中的元素不能再用于其他匹配 状态定义： 定义dp[ i][ j][ e ]表示以数组A的第i个位置和数组B的第j个位置结尾，且允许最多e个不匹配位置时的最长公共子数组长度。 状态转移方程： 如果A[ i] == B[ j ]： dp[ i][ j][ e] = dp[ i-1][ j-1][ e ] + 1 如果A[ i] != B[ j ]： 如果e > 0（还有不匹配名额）： dp[ i][ j][ e] = dp[ i-1][ j-1][ e-1 ] + 1 如果e = 0： dp[ i][ j][ e ] = 0 重叠处理： 由于要求匹配的子数组不能重叠，我们需要在计算过程中记录哪些位置已经被使用。这可以通过维护一个标记数组来实现，标记每个位置是否已经被匹配。 算法步骤： 步骤1：初始化三维dp数组，大小为(lenA)+1 × (lenB)+1 × (k+1)，初始值为0 步骤2：初始化标记数组usedA和usedB，记录A和B中每个位置是否被使用 步骤3：遍历所有可能的起始位置组合(i,j)和所有可能的错误数量e 步骤4：对于每个状态，如果当前位置未被使用，根据状态转移方程更新dp值 步骤5：记录找到的最长公共子数组长度及其位置 步骤6：更新标记数组，标记已匹配的位置 复杂度分析： 时间复杂度：O(n×m×k)，其中n和m分别是数组A和B的长度 空间复杂度：O(n×m×k) 优化考虑： 可以使用滚动数组优化空间复杂度到O(m×k) 对于大规模数据，可以考虑使用哈希和二分搜索来优化 这个问题的难点在于如何处理位置不重叠的限制条件，需要在动态规划的过程中同步维护使用状态，确保找到的公共子数组不会相互冲突。