马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）中的吉布斯采样（Gibbs Sampling）算法原理与采样过程
字数 1545 2025-11-19 09:03:17

马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）中的吉布斯采样（Gibbs Sampling）算法原理与采样过程

题目描述
吉布斯采样是马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法的一种，用于从复杂多变量概率分布中抽取样本。它通过迭代地基于其他变量的当前值来采样每个变量，逐步构建一个马尔可夫链，使其平稳分布收敛到目标分布。本题目将详细讲解吉布斯采样的原理、条件分布计算和迭代采样过程。

解题过程

  1. 问题定义与目标

    • 设目标分布为 \(P(X_1, X_2, \dots, X_n)\)，其中 \(X_i\) 是随机变量。直接采样可能因高维或复杂依赖关系而困难。
    • 目标：生成一系列样本 \(\{X^{(1)}, X^{(2)}, \dots\}\)，使其经验分布近似 \(P\)。

  2. 吉布斯采样核心思想

    • 利用全条件分布（Full Conditional Distribution）：对于每个变量 \(X_i\)，给定其他所有变量 \(X_{-i}\) 的条件分布 \(P(X_i \mid X_{-i})\)。
    • 通过循环迭代更新每个变量：从当前条件分布中采样一个新值，逐步更新整个状态向量。

  3. 算法步骤

    • 步骤1：初始化
      随机选择初始状态 \(X^{(0)} = (X_1^{(0)}, X_2^{(0)}, \dots, X_n^{(0)})\)。
    • 步骤2：迭代采样
      对于每次迭代 \(t = 1, 2, \dots, T\)：
      1. 采样 \(X_1^{(t)} \sim P(X_1 \mid X_2^{(t-1)}, X_3^{(t-1)}, \dots, X_n^{(t-1)})\)
      2. 采样 \(X_2^{(t)} \sim P(X_2 \mid X_1^{(t)}, X_3^{(t-1)}, \dots, X_n^{(t-1)})\)
        ...
        n. 采样 \(X_n^{(t)} \sim P(X_n \mid X_1^{(t)}, X_2^{(t)}, \dots, X_{n-1}^{(t)})\)
      • 注意：每次采样后立即更新变量值，用于后续采样。
    • 步骤3：输出样本
      丢弃前 \(B\) 个样本（燃烧期）以减少初始值影响，保留后续样本作为目标分布的近似。

  4. 关键原理与收敛性

    • 吉布斯采样是Metropolis-Hastings算法的特例（接受概率恒为1）。
    • 通过构造的马尔可夫链不可约且非周期时，链的平稳分布等于目标分布。
    • 实际中需检查收敛性（如Gelman-Rubin诊断）。

  5. 示例说明
    假设目标分布为二元高斯分布 \(P(X_1, X_2)\)，均值为 \(\mu\)，协方差矩阵为 \(\Sigma\)。

    • 计算条件分布：
      \(P(X_1 \mid X_2) = \mathcal{N}(\mu_1 + \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(X_2 - \mu_2), \Sigma_{11} - \Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21})\)
      \(P(X_2 \mid X_1)\) 类似。
    • 迭代采样：
      1. 从 \(P(X_1 \mid X_2^{(t-1)})\) 采样 \(X_1^{(t)}\)
      2. 从 \(P(X_2 \mid X_1^{(t)})\) 采样 \(X_2^{(t)}\)
    • 重复直至生成足够样本。

  6. 注意事项

    • 适用于条件分布易于采样的场景（如共轭先验）。
    • 高相关变量可能导致混合缓慢（需大量迭代）。
    • 可结合其他MCMC方法（如切片采样）优化困难条件分布。
马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）中的吉布斯采样（Gibbs Sampling）算法原理与采样过程 题目描述 吉布斯采样是马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法的一种，用于从复杂多变量概率分布中抽取样本。它通过迭代地基于其他变量的当前值来采样每个变量，逐步构建一个马尔可夫链，使其平稳分布收敛到目标分布。本题目将详细讲解吉布斯采样的原理、条件分布计算和迭代采样过程。 解题过程 问题定义与目标 设目标分布为 \( P(X_ 1, X_ 2, \dots, X_ n) \)，其中 \( X_ i \) 是随机变量。直接采样可能因高维或复杂依赖关系而困难。 目标：生成一系列样本 \( \{X^{(1)}, X^{(2)}, \dots\} \)，使其经验分布近似 \( P \)。 吉布斯采样核心思想 利用全条件分布（Full Conditional Distribution）：对于每个变量 \( X_ i \)，给定其他所有变量 \( X_ {-i} \) 的条件分布 \( P(X_ i \mid X_ {-i}) \)。 通过循环迭代更新每个变量：从当前条件分布中采样一个新值，逐步更新整个状态向量。 算法步骤 步骤1：初始化 随机选择初始状态 \( X^{(0)} = (X_ 1^{(0)}, X_ 2^{(0)}, \dots, X_ n^{(0)}) \)。 步骤2：迭代采样 对于每次迭代 \( t = 1, 2, \dots, T \)： 采样 \( X_ 1^{(t)} \sim P(X_ 1 \mid X_ 2^{(t-1)}, X_ 3^{(t-1)}, \dots, X_ n^{(t-1)}) \) 采样 \( X_ 2^{(t)} \sim P(X_ 2 \mid X_ 1^{(t)}, X_ 3^{(t-1)}, \dots, X_ n^{(t-1)}) \) ... n. 采样 \( X_ n^{(t)} \sim P(X_ n \mid X_ 1^{(t)}, X_ 2^{(t)}, \dots, X_ {n-1}^{(t)}) \) 注意：每次采样后立即更新变量值，用于后续采样。 步骤3：输出样本 丢弃前 \( B \) 个样本（燃烧期）以减少初始值影响，保留后续样本作为目标分布的近似。 关键原理与收敛性 吉布斯采样是Metropolis-Hastings算法的特例（接受概率恒为1）。 通过构造的马尔可夫链不可约且非周期时，链的平稳分布等于目标分布。 实际中需检查收敛性（如Gelman-Rubin诊断）。 示例说明 假设目标分布为二元高斯分布 \( P(X_ 1, X_ 2) \)，均值为 \( \mu \)，协方差矩阵为 \( \Sigma \)。 计算条件分布： \( P(X_ 1 \mid X_ 2) = \mathcal{N}(\mu_ 1 + \Sigma_ {12}\Sigma_ {22}^{-1}(X_ 2 - \mu_ 2), \Sigma_ {11} - \Sigma_ {12}\Sigma_ {22}^{-1}\Sigma_ {21}) \) \( P(X_ 2 \mid X_ 1) \) 类似。 迭代采样： 从 \( P(X_ 1 \mid X_ 2^{(t-1)}) \) 采样 \( X_ 1^{(t)} \) 从 \( P(X_ 2 \mid X_ 1^{(t)}) \) 采样 \( X_ 2^{(t)} \) 重复直至生成足够样本。 注意事项 适用于条件分布易于采样的场景（如共轭先验）。 高相关变量可能导致混合缓慢（需大量迭代）。 可结合其他MCMC方法（如切片采样）优化困难条件分布。