基于线性规划的图最大流问题的Edmonds-Karp算法求解示例 我将为您详细讲解如何用Edmonds-Karp算法求解图的最大流问题，这是一个基于线性规划思想的经典算法。 问题描述 给定一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)≥0。指定两个特殊顶点：源点s和汇点t。最大流问题是寻找从s到t的最大流量，满足： 容量约束：每条边上的流量不超过其容量 流量守恒：除s和t外，每个顶点的流入量等于流出量 解题过程 步骤1：建立线性规划模型 最大流问题可以表述为线性规划： 目标函数：maximize ∑f(s,v) - ∑f(v,s) (v∈V) 约束条件： 0 ≤ f(u,v) ≤ c(u,v) ∀(u,v)∈E ∑f(u,v) = ∑f(v,w) ∀v∈V\{s,t} 步骤2：理解Edmonds-Karp算法核心思想 Edmonds-Karp是Ford-Fulkerson方法的一种实现，关键特点是使用BFS（广度优先搜索）寻找增广路径，保证算法在多项式时间内完成。 步骤3：算法初始化 创建残余网络G_ f，初始时G_ f = G 设置初始流f(u,v)=0 ∀(u,v)∈E 最大流值max_ flow = 0 步骤4：寻找增广路径 在残余网络G_ f中，从源点s开始进行BFS，寻找一条到汇点t的路径。 残余容量的定义： 前向边：r(u,v) = c(u,v) - f(u,v) 反向边：r(v,u) = f(u,v) 步骤5：详细BFS过程 以具体图例说明： 假设图有顶点{s,a,b,t}，边容量： s→a: 10, s→b: 5, a→b: 3, a→t: 7, b→t: 8 第一次BFS： 从s开始，发现邻居a和b 记录路径和最小残余容量 假设找到路径s→a→t，最小残余容量min(10,7)=7 步骤6：更新流量 沿找到的增广路径更新流量： 对于前向边：f(u,v) = f(u,v) + Δf 对于反向边：f(v,u) = f(v,u) - Δf 其中Δf是路径的最小残余容量 第一次迭代后： f(s,a)=7, f(a,t)=7, 其他边流量为0 max_ flow = 7 步骤7：更新残余网络 对应更新残余容量： 边s→a：残余容量10-7=3 边a→t：残余容量7-7=0 增加反向边a→s：容量7，t→a：容量7 步骤8：重复寻找增广路径 在更新后的残余网络中继续BFS： 可能找到路径s→b→t，最小残余容量min(5,8)=5 更新流量： f(s,b)=5, f(b,t)=5 max_ flow = 7+5=12 步骤9：算法终止条件 当在残余网络中无法从s到达t时，算法终止。 此时当前流就是最大流。 步骤10：最小割的构造 根据最终残余网络，从s可达的顶点构成S集合，其他顶点构成T集合。 割(S,T)的容量等于最大流值，验证了最大流最小割定理。 步骤11：复杂度分析 Edmonds-Karp算法的时间复杂度为O(VE²)，其中|V|是顶点数，|E|是边数。 每次BFS需要O(E)时间，最多进行O(VE)次迭代。 这个算法通过反复寻找并增广最短路径，逐步增加流量，最终找到最大流，同时自动找到了对应的最小割。