非线性规划中的逐步线性规划（SLP）算法进阶题 我将为您讲解逐步线性规划（SLP）算法在处理非线性约束优化问题时的进阶应用。这是一个在实际工程中广泛使用的有效方法。 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 4)² 约束条件： g₁(x) = x₁² + x₂² - 4 ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 初始点 x⁰ = [ 1, 1 ]ᵀ，信赖域半径 Δ₀ = 0.5 解题过程详解 第一步：理解SLP算法的核心思想 逐步线性规划通过在当前迭代点对非线性函数进行一阶泰勒展开，将原非线性问题转化为一系列线性规划子问题。关键步骤包括： 在当前点对目标函数和约束条件线性化 求解线性规划子问题 根据解的质量调整信赖域半径 迭代直至收敛 第二步：第一次迭代计算（k=0） 在当前点 x⁰ = [ 1, 1 ]ᵀ 处进行线性化： 目标函数梯度：∇f(x⁰) = [ 2(x₁ - 3), 2(x₂ - 4)]ᵀ = [ -4, -6 ]ᵀ f(x⁰) = (1-3)² + (1-4)² = 4 + 9 = 13 约束函数梯度： ∇g₁(x⁰) = [ 2x₁, 2x₂]ᵀ = [ 2, 2 ]ᵀ g₁(x⁰) = 1² + 1² - 4 = -2 ∇g₂(x⁰) = [ -1, 0 ]ᵀ，g₂(x⁰) = -1 ∇g₃(x⁰) = [ 0, -1 ]ᵀ，g₃(x⁰) = -1 构建线性规划子问题： 最小化 fₗₖ(x) = f(x⁰) + ∇f(x⁰)ᵀ(x - x⁰) = 13 + [ -4, -6][ x₁-1, x₂-1 ]ᵀ 约束条件： g₁ₗₖ(x) = g₁(x⁰) + ∇g₁(x⁰)ᵀ(x - x⁰) = -2 + [ 2, 2][ x₁-1, x₂-1 ]ᵀ ≤ 0 g₂ₗₖ(x) = -1 + [ -1, 0][ x₁-1, x₂-1 ]ᵀ ≤ 0 g₃ₗₖ(x) = -1 + [ 0, -1][ x₁-1, x₂-1 ]ᵀ ≤ 0 信赖域约束：|x₁ - 1| ≤ 0.5，|x₂ - 1| ≤ 0.5 第三步：求解线性规划子问题 将线性规划子问题标准化： 最小化 -4x₁ - 6x₂ + 23 约束条件： 2x₁ + 2x₂ - 6 ≤ 0 -x₁ + 1 ≤ 0 -x₂ + 1 ≤ 0 0.5 ≤ x₁ ≤ 1.5 0.5 ≤ x₂ ≤ 1.5 通过单纯形法或图解法求解，得到子问题解： x₁ˢ = 1.5，x₂ˢ = 1.5 目标函数值：fₗₖ(xˢ) = -4×1.5 - 6×1.5 + 23 = -6 -9 + 23 = 8 第四步：计算实际下降量与预测下降量 实际下降量：Δfₐᵣₜ = f(x⁰) - f(xˢ) = 13 - f(1.5, 1.5) f(1.5, 1.5) = (1.5-3)² + (1.5-4)² = 2.25 + 6.25 = 8.5 Δfₐᵣₜ = 13 - 8.5 = 4.5 预测下降量：Δfₚᵣₑ = f(x⁰) - fₗₖ(xˢ) = 13 - 8 = 5 第五步：计算比值并更新信赖域半径 比值 ρ = Δfₐᵣₜ / Δfₚᵣₑ = 4.5 / 5 = 0.9 根据SLP算法信赖域更新策略： 如果 ρ > 0.75，接受步长并扩大信赖域：Δₖ₊₁ = 2Δₖ 如果 0.25 ≤ ρ ≤ 0.75，接受步长但保持信赖域不变 如果 ρ < 0.25，拒绝步长并缩小信赖域：Δₖ₊₁ = 0.5Δₖ 此处 ρ = 0.9 > 0.75，因此： 接受新点 x¹ = [ 1.5, 1.5 ]ᵀ 更新信赖域半径：Δ₁ = 2 × 0.5 = 1.0 第六步：第二次迭代计算（k=1） 在当前点 x¹ = [ 1.5, 1.5 ]ᵀ 处线性化： 目标函数梯度：∇f(x¹) = [ 2(1.5-3), 2(1.5-4)]ᵀ = [ -3, -5 ]ᵀ f(x¹) = 8.5 约束函数梯度： ∇g₁(x¹) = [ 3, 3 ]ᵀ g₁(x¹) = 1.5² + 1.5² - 4 = 2.25 + 2.25 - 4 = 0.5 ∇g₂(x¹) = [ -1, 0 ]ᵀ，g₂(x¹) = -1.5 ∇g₃(x¹) = [ 0, -1 ]ᵀ，g₃(x¹) = -1.5 构建新的线性规划子问题（考虑信赖域半径 Δ₁ = 1.0）： 最小化 8.5 + [ -3, -5][ x₁-1.5, x₂-1.5 ]ᵀ 约束条件： 0.5 + [ 3, 3][ x₁-1.5, x₂-1.5 ]ᵀ ≤ 0 -1.5 + [ -1, 0][ x₁-1.5, x₂-1.5 ]ᵀ ≤ 0 -1.5 + [ 0, -1][ x₁-1.5, x₂-1.5 ]ᵀ ≤ 0 0.5 ≤ x₁ ≤ 2.5 0.5 ≤ x₂ ≤ 2.5 第七步：收敛性判断 继续迭代过程，直到： 步长范数 ‖xᵏ⁺¹ - xᵏ‖ < ε（如 ε = 10⁻⁶） 目标函数变化量 |f(xᵏ⁺¹) - f(xᵏ)| < ε 达到最大迭代次数 对于本例，最优解为 x* = [ 1.2, 1.6]ᵀ，f(x* ) = 8.0，约束 g₁(x* ) = 0（积极约束） 算法特点总结 SLP算法的优势在于能有效处理非线性约束，通过信赖域机制保证收敛性。相比基础SLP，进阶应用需要考虑： 更复杂的约束处理策略 自适应信赖域调整 高效的线性规划求解器集成 针对病态问题的数值稳定性处理