基于线性规划的图最大权独立集问题的分支切割法求解示例 我将详细讲解如何使用分支切割法求解图的最大权独立集问题。首先，让我们明确问题定义：给定一个无向图G=(V,E)，每个顶点v∈V有一个非负权重w(v)，目标是找到一个顶点子集S⊆V，使得S中任意两个顶点都不相邻（即S是独立集），且所有顶点权重之和最大。 1. 问题建模 最大权独立集问题可以建模为整数规划： 决策变量：x_ v∈{0,1}，v∈V，x_ v=1表示顶点v被选入独立集 目标函数：max ∑_ {v∈V} w_ v x_ v 约束条件：对每条边(u,v)∈E，x_ u + x_ v ≤ 1（保证相邻顶点不能同时被选） 2. 线性松弛与初始松弛 将整数约束x_ v∈{0,1}松弛为0≤x_ v≤1，得到线性规划松弛。初始松弛只包含边约束和边界约束。 3. 割平面方法 线性松弛的解可能不是整数解，我们需要添加割平面来加强松弛： 团不等式：对于任意团C⊆V（完全子图），有∑_ {v∈C} x_ v ≤ 1 奇圈不等式：对于长度为2k+1的奇圈，有∑_ {v∈C} x_ v ≤ k 4. 分支切割算法流程 步骤1：求解当前线性松弛 使用单纯形法求解当前线性规划松弛 如果解是整数解，则找到最优解，算法结束 步骤2：割平面生成 在当前分数解中寻找违反的团不等式或奇圈不等式 如果找到，添加到线性规划中，返回步骤1 如果找不到，进入分支步骤 步骤3：分支策略 选择分数分量进行分支，比如选择最接近0.5的x_ v 创建两个子问题： 左分支：x_ v = 0 右分支：x_ v = 1 步骤4：界限与剪枝 如果子问题的上界小于当前最优值，剪枝 如果找到整数解且优于当前最优，更新最优解 5. 具体实例演示 考虑图G=(V,E)，V={1,2,3,4}，边集E={(1,2),(2,3),(3,4),(1,4)}，权重w=[ 3,2,4,1 ] 初始线性松弛： max 3x₁ + 2x₂ + 4x₃ + x₄ s.t. x₁ + x₂ ≤ 1 (边1-2) x₂ + x₃ ≤ 1 (边2-3) x₃ + x₄ ≤ 1 (边3-4) x₁ + x₄ ≤ 1 (边1-4) 0 ≤ x_ v ≤ 1, v=1,...,4 第一次求解得：x=[ 0.5,0.5,0.5,0.5 ]，目标值=5 添加团不等式：顶点{1,2,3}形成三角形，添加x₁+x₂+x₃≤1 重新求解：x=[ 0,0.5,0.5,0.5 ]，目标值=4.5 继续添加割平面，最终通过分支找到最优解x=[ 0,1,0,1 ]，目标值=3 6. 算法优化技巧 割平面管理：定期清理无效约束 分支策略：采用强分支选择最有希望的分支变量 预处理：通过图的度信息预先固定某些变量 这种方法结合了割平面的紧化作用和分支定界的完整性保证，能有效求解中等规模的最大权独立集问题。