鸡蛋掉落问题（进阶版：带楼层限制的鸡蛋掉落）

题目描述

假设有k个相同的鸡蛋和一栋从1到n共n层的建筑。每个鸡蛋具有相同的特性：如果从某一层扔下没有碎，那么从任何低于这一层的楼层扔下也不会碎；如果从某一层扔下碎了，那么从任何高于这一层的楼层扔下也会碎。

现在需要确定这栋建筑中最高的安全楼层（即鸡蛋从该楼层扔下不会碎的最高楼层）。如果鸡蛋在某一层没有碎，可以继续使用；如果碎了，就不能再使用。

在基本问题中，我们要求找到最坏情况下需要的最少测试次数。在进阶版中，我们增加一个限制：最多只能测试m次。现在需要求出在最多测试m次的情况下，使用k个鸡蛋最多能确定多少层建筑的安全楼层？

解题过程

1. 问题分析

这是一个经典的动态规划问题。我们需要理解几个关键概念：

• 状态：dp[i][j]表示使用i个鸡蛋，最多测试j次，能够确定的最大楼层数
• 目标：找到满足dp[k][m] ≥ n的最小m，或者对于给定的m，计算dp[k][m]

2. 状态转移方程推导

考虑在某一层进行测试：

• 如果鸡蛋碎了：说明安全楼层在当前测试楼层下方，我们还有i-1个鸡蛋和j-1次测试机会
• 如果鸡蛋没碎：说明安全楼层在当前测试楼层上方或就是当前楼层，我们还有i个鸡蛋和j-1次测试机会

因此，状态转移方程为：
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 + dp[i][j-1]

其中：

• dp[i-1][j-1]：鸡蛋碎了时能确定的楼层数（下方）
• 1：当前测试的楼层
• dp[i][j-1]：鸡蛋没碎时能确定的楼层数（上方）

3. 边界条件

• 当i = 0（没有鸡蛋）或j = 0（没有测试机会）时，dp[i][j] = 0
• 当i = 1（只有1个鸡蛋）时，dp[1][j] = j（只能逐层测试）
• 当j = 1（只有1次测试机会）时，dp[i][1] = 1（只能测试1层）

4. 算法实现

我们可以使用动态规划来填充dp表：

def egg_drop_advanced(k, m):
    # dp[i][j]: 使用i个鸡蛋，最多测试j次，能确定的最大楼层数
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(k + 1)]
    
    # 初始化边界条件
    for i in range(1, k + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if i == 1:
                dp[i][j] = j  # 只有1个鸡蛋，只能逐层测试
            elif j == 1:
                dp[i][j] = 1  # 只有1次测试机会，只能测试1层
            else:
                # 状态转移：鸡蛋碎了 + 1（当前层） + 鸡蛋没碎
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 + dp[i][j-1]
    
    return dp[k][m]

# 示例：使用2个鸡蛋，最多测试14次，能确定多少层？
result = egg_drop_advanced(2, 14)
print(f"2个鸡蛋，14次测试能确定{result}层")  # 输出：105层

5. 逆向问题求解

在实际应用中，我们通常需要解决的是：给定k个鸡蛋和n层楼，找到最少的测试次数m，使得dp[k][m] ≥ n。

我们可以修改算法来解决这个问题：

def min_test_times(k, n):
    # dp[i][j]: 使用i个鸡蛋，最多测试j次，能确定的最大楼层数
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(k + 1)]
    
    m = 0
    while dp[k][m] < n:
        m += 1
        for i in range(1, k + 1):
            dp[i][m] = dp[i-1][m-1] + 1 + dp[i][m-1]
    
    return m

# 示例：2个鸡蛋，100层楼，最少需要测试多少次？
result = min_test_times(2, 100)
print(f"2个鸡蛋，100层楼，最少需要测试{result}次")  # 输出：14次

6. 算法优化

上面的算法时间复杂度为O(k×m)，空间复杂度为O(k×n)。我们可以优化空间复杂度到O(k)：

def min_test_times_optimized(k, n):
    # 只保存当前轮和上一轮的结果
    dp = [0] * (k + 1)
    m = 0
    
    while dp[k] < n:
        m += 1
        # 从后往前更新，避免覆盖
        for i in range(k, 0, -1):
            dp[i] = dp[i-1] + 1 + dp[i]
    
    return m

7. 实际应用示例

假设我们有3个鸡蛋，一栋100层的建筑，最多允许测试10次：

# 计算3个鸡蛋，10次测试能确定多少层
result1 = egg_drop_advanced(3, 10)
print(f"3个鸡蛋，10次测试能确定{result1}层")  # 输出：176层

# 计算3个鸡蛋，100层需要最少测试次数
result2 = min_test_times(3, 100)
print(f"3个鸡蛋，100层需要最少{result2}次测试")  # 输出：9次

8. 算法分析

• 时间复杂度：O(k×m)，其中k是鸡蛋数，m是测试次数
• 空间复杂度：优化后为O(k)
• 这个算法能够高效地解决鸡蛋掉落问题，找出在给定限制下的最优策略

这个动态规划解法通过将问题分解为子问题，并利用最优子结构性质，有效地解决了经典的鸡蛋掉落问题及其变种。