Stooge排序的递归深度优化与尾递归转换

题目描述：
给定一个整数数组，使用Stooge排序算法进行排序。Stooge排序是一种递归排序算法，其基本思想是：如果数组首元素大于尾元素，则交换它们；如果当前子数组长度大于2，则递归地排序前2/3部分、后2/3部分，最后再次排序前2/3部分。请分析其递归深度问题，并实现尾递归转换优化。

解题过程：

1. 基础Stooge排序算法
   首先我们实现基础的Stooge排序算法：

def stooge_sort_basic(arr, left=0, right=None):
    if right is None:
        right = len(arr) - 1
    
    # 基本情况：如果子数组长度小于等于1，直接返回
    if left >= right:
        return arr
    
    # 如果首元素大于尾元素，交换它们
    if arr[left] > arr[right]:
        arr[left], arr[right] = arr[right], arr[left]
    
    # 如果子数组长度大于2，进行递归排序
    if right - left + 1 > 2:
        third = (right - left + 1) // 3
        
        # 递归排序前2/3部分
        stooge_sort_basic(arr, left, right - third)
        # 递归排序后2/3部分  
        stooge_sort_basic(arr, left + third, right)
        # 再次递归排序前2/3部分
        stooge_sort_basic(arr, left, right - third)
    
    return arr

2. 递归深度问题分析
   Stooge排序的递归深度问题主要体现在：

• 每次递归调用处理2/3的子数组
• 递归深度为 O(log_{3/2} n) ≈ O(1.71 log n)
• 虽然深度相对较小，但递归调用次数呈指数级增长
• 对于大数组容易导致栈溢出

3. 尾递归转换原理
   尾递归转换的核心思想是将递归调用转换为迭代形式，减少栈空间的使用。对于Stooge排序，我们可以：

• 使用显式栈来模拟递归调用
• 将递归参数保存在栈中
• 在循环中处理栈顶元素

4. 尾递归优化实现

def stooge_sort_optimized(arr):
    if not arr:
        return arr
    
    # 使用栈来模拟递归调用
    stack = [(0, len(arr) - 1)]
    
    while stack:
        left, right = stack.pop()
        
        # 基本情况处理
        if left >= right:
            continue
        
        # 交换首尾元素（如果需要）
        if arr[left] > arr[right]:
            arr[left], arr[right] = arr[right], arr[left]
        
        # 处理长度大于2的情况
        if right - left + 1 > 2:
            third = (right - left + 1) // 3
            
            # 将递归调用转换为栈操作
            # 注意：顺序与递归调用相反，因为栈是LIFO
            stack.append((left, right - third))        # 对应第三次递归调用
            stack.append((left + third, right))        # 对应第二次递归调用  
            stack.append((left, right - third))        # 对应第一次递归调用
    
    return arr

5. 进一步优化：迭代版本
   为了完全消除递归，我们可以使用更直接的迭代方法：

def stooge_sort_iterative(arr):
    n = len(arr)
    if n <= 1:
        return arr
    
    # 使用队列来管理待处理的区间
    from collections import deque
    queue = deque([(0, n-1)])
    
    while queue:
        left, right = queue.popleft()
        
        if left >= right:
            continue
        
        # 交换首尾元素
        if arr[left] > arr[right]:
            arr[left], arr[right] = arr[right], arr[left]
        
        # 处理长度大于2的情况
        if right - left + 1 > 2:
            third = (right - left + 1) // 3
            
            # 按处理顺序加入队列
            queue.append((left, right - third))        # 前2/3
            queue.append((left + third, right))        # 后2/3
            queue.append((left, right - third))        # 再次前2/3
    
    return arr

6. 性能对比分析
   让我们比较优化前后的性能：

import time
import sys

def test_performance():
    # 测试数据
    test_data = [5, 2, 8, 1, 9, 3, 7, 4, 6]
    
    # 测试基础版本
    start = time.time()
    result1 = stooge_sort_basic(test_data.copy())
    time1 = time.time() - start
    
    # 测试优化版本
    start = time.time()
    result2 = stooge_sort_optimized(test_data.copy())
    time2 = time.time() - start
    
    # 测试迭代版本
    start = time.time()
    result3 = stooge_sort_iterative(test_data.copy())
    time3 = time.time() - start
    
    print(f"基础版本: {time1:.6f}s, 结果: {result1}")
    print(f"优化版本: {time2:.6f}s, 结果: {result2}") 
    print(f"迭代版本: {time3:.6f}s, 结果: {result3}")
    
    # 测试递归深度
    sys.setrecursionlimit(10000)
    large_data = list(range(100, 0, -1))
    
    try:
        stooge_sort_basic(large_data.copy())
        print("基础版本: 可以处理较大数据")
    except RecursionError:
        print("基础版本: 递归深度过大")
    
    stooge_sort_optimized(large_data.copy())
    print("优化版本: 可以处理较大数据")
    
    stooge_sort_iterative(large_data.copy())
    print("迭代版本: 可以处理较大数据")

7. 算法正确性验证
   通过循环不变式来验证算法的正确性：

• 初始化：在第一次调用前，数组未排序
• 保持：每次递归调用都确保子数组更接近有序状态
• 终止：当子数组长度为1时，数组已排序

8. 时间复杂度分析

• 基础版本：O(n^(log 3 / log 1.5)) ≈ O(n^2.71)
• 优化版本：相同的时间复杂度，但空间复杂度从O(log n)降到O(1)
• 迭代版本：相同的时间复杂度，完全避免递归开销

这种优化虽然不能改变Stooge排序本身较差的渐进时间复杂度，但显著改善了实际运行时的空间效率和稳定性，特别是在处理较大数据集时避免了栈溢出的风险。