其中 $x_i, w_i$ 为 $[-1,1]$ 上的标准高斯节点与权重。  

高斯-勒让德求积公式在带峰值函数积分中的局部自适应策略 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 上存在一个或多个尖锐的峰值（例如高斯型函数 \( e^{-1000(x-0.5)^2} \)）。这类函数在峰值区域变化剧烈，而在其他区域平缓。若直接应用高斯-勒让德求积公式，可能因节点不足而漏掉峰值，导致积分误差较大。需要设计一种局部自适应策略，在峰值区域加密节点，而在平缓区域减少计算。 解题过程 问题分析 峰值函数的特征：在狭窄区间内函数值急剧变化，其他区域近似为零。 高斯-勒让德求积公式在平滑区间效率高，但对峰值区域采样不足时误差显著。 解决思路：将积分区间递归二分，仅在满足误差条件的子区间加密计算。 自适应策略框架 步骤1 ：将初始区间 \([ -1, 1 ]\) 作为当前区间，设定全局误差容限 \(\epsilon\)。 步骤2 ：对每个子区间 \([ a, b]\)，用 \(n\) 点高斯-勒让德公式计算积分近似 \(I_ 1\)： \[ I_ 1 = \frac{b-a}{2} \sum_ {i=1}^n w_ i f\left( \frac{b-a}{2}x_ i + \frac{a+b}{2} \right) \] 其中 \(x_ i, w_ i\) 为 \([ -1,1 ]\) 上的标准高斯节点与权重。 步骤3 ：将 \([ a, b]\) 等分为两个子区间，分别用相同公式计算积分和 \(I_ 2\)。 步骤4 ：估计误差 \(E = |I_ 1 - I_ 2|\)。若 \(E > \epsilon\)，则递归处理两个子区间；否则接受 \(I_ 2\) 作为该区间积分值。 步骤5 ：合并所有子区间的结果作为全局积分近似。 误差控制与终止条件 误差估计基于两次计算差值 \(E\)，实际误差通常远小于 \(E\)。 为避免无限递归，设置最小区间长度限制（如 \(10^{-12}\)）。 峰值区域会自动触发多次二分，平缓区域则快速收敛。 示例计算 以 \( f(x) = e^{-1000(x-0.5)^2} \) 为例： 初始区间 \([ -1, 1 ]\)，取 \(n=5\) 的高斯-勒让德公式。 在 \(x=0.5\) 附近，\(I_ 1\) 与 \(I_ 2\) 差异显著，触发递归二分。 最终在 \([ 0.4, 0.6 ]\) 内密集分布节点，其他区间仅少量节点。 策略优势 计算资源集中在关键区域，避免全局均匀加密的低效性。 结合高斯-勒让德公式的高代数精度，显著提升峰值函数积分效率。 通过这种局部自适应策略，高斯-勒让德求积公式可有效处理带峰值函数的积分问题，平衡精度与计算成本。