奇怪的打印机问题（最小打印次数问题进阶版）

题目描述

有一个奇怪的打印机，它每次打印时可以选择从任意位置开始到任意位置结束，将这段区间内的所有字符打印成同一个字符。但是，打印机在打印过程中可以覆盖之前已经打印过的字符。现在给定一个字符串 s，你需要找出打印机打印出这个字符串所需的最少打印次数。

例如：

• 输入：s = "aaabbb"
• 输出：2
• 解释：首先打印整个字符串为 'a'，然后打印后三个字符为 'b'

解题过程

这个问题可以使用区间动态规划来解决。让我们循序渐进地分析：

1. 问题分析

• 打印机每次操作可以将一个连续区间打印成同一个字符
• 后续操作可以覆盖前面的打印结果
• 目标是用最少的操作次数打印出目标字符串

2. 定义状态
定义 dp[i][j] 表示打印区间 [i, j] 所需的最少打印次数。

3. 状态转移方程

情况1：如果 s[i] == s[j]
当首尾字符相同时，我们可以在打印首字符时顺便打印尾字符：
dp[i][j] = dp[i][j-1]

情况2：一般情况
对于区间 [i, j]，我们可以将其拆分为两个子区间 [i, k] 和 [k+1, j]：
dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k+1][j])，其中 i ≤ k < j

4. 边界条件

• 单个字符：dp[i][i] = 1（每个字符至少需要一次打印）
• 空区间：当 i > j 时，dp[i][j] = 0

5. 具体实现步骤

让我们通过示例 s = "abab" 来详细说明：

步骤1：初始化

dp[0][0] = 1  // "a"
dp[1][1] = 1  // "b"  
dp[2][2] = 1  // "a"
dp[3][3] = 1  // "b"

步骤2：计算长度为2的区间

• • 情况2：min(dp[0][0]+dp[1][1]) = 1+1 = 2
  • dp[0][1] = 2
• • 情况2：min(dp[1][1]+dp[2][2]) = 1+1 = 2
  • dp[1][2] = 2
• • 情况2：min(dp[2][2]+dp[3][3]) = 1+1 = 2
  • dp[2][3] = 2

步骤3：计算长度为3的区间

• • 情况1：s[0]='a' ≠ s[2]='a'，不适用
  • 情况2：
    • k=0: dp[0][0]+dp[1][2] = 1+2 = 3
    • k=1: dp[0][1]+dp[2][2] = 2+1 = 3
  • dp[0][2] = 3
• • 情况1：s[1]='b' = s[3]='b'
  • dp[1][3] = dp[1][2] = 2

步骤4：计算整个区间 [0,3]

• s = "abab"
• 情况1：s[0]='a' ≠ s[3]='b'，不适用
• 情况2：
  • k=0: dp[0][0]+dp[1][3] = 1+2 = 3
  • k=1: dp[0][1]+dp[2][3] = 2+2 = 4
  • k=2: dp[0][2]+dp[3][3] = 3+1 = 4
• dp[0][3] = 3

6. 算法优化
实际上，我们可以进一步优化状态转移。当 s[i] == s[k] 时（其中 i ≤ k < j），我们可以有：
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k-1] + dp[k][j] - 1)

这是因为如果 s[i] 和 s[k] 相同，我们可以在同一次操作中打印它们。

7. 最终代码框架

def strangePrinter(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    
    for i in range(n-1, -1, -1):
        dp[i][i] = 1
        for j in range(i+1, n):
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i][j-1]
            else:
                dp[i][j] = float('inf')
                for k in range(i, j):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j])
    
    return dp[0][n-1]

8. 时间复杂度

• 时间复杂度：O(n³)
• 空间复杂度：O(n²)

这个算法通过区间动态规划系统地解决了奇怪的打印机问题，确保了用最少的打印次数完成目标字符串的打印。