非线性规划中的分支定界法进阶题 我将为您详细讲解分支定界法在非线性规划中的应用，这是一个解决混合整数非线性规划(MINLP)问题的重要算法。 题目描述 考虑以下混合整数非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 2)² 约束条件： g₁(x) = x₁² + x₂² - 4 ≤ 0 x₁ ∈ {0, 1, 2, 3} x₂ ≥ 0 这是一个包含离散变量x₁和连续变量x₂的非线性规划问题。 解题过程 第一步：理解分支定界法的基本框架 分支定界法的核心思想是通过不断分割可行域（分支）和计算边界值（定界）来系统性地搜索最优解。主要步骤包括： 松弛：将整数约束松弛为连续约束 定界：求解松弛问题得到上下界 分支：将问题分解为子问题 剪枝：根据边界值排除不可能包含最优解的子问题 第二步：初始化与松弛 首先，我们将原问题的整数约束松弛： 原约束：x₁ ∈ {0, 1, 2, 3} 松弛后：0 ≤ x₁ ≤ 3 现在求解松弛问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 2)² 约束条件： x₁² + x₂² - 4 ≤ 0 0 ≤ x₁ ≤ 3 x₂ ≥ 0 通过KKT条件或数值方法求解，得到： x₁* ≈ 1.79, x₂* ≈ 1.34, f* ≈ 2.20 由于x₁不是整数，我们需要继续分支。 第三步：第一次分支 选择非整数变量x₁进行分支。由于x₁* = 1.79，我们创建两个子问题： 子问题1（x₁ ≤ 1）： 最小化 f(x) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 2)² 约束条件： x₁² + x₂² - 4 ≤ 0 0 ≤ x₁ ≤ 1 x₂ ≥ 0 子问题2（x₁ ≥ 2）： 最小化 f(x) = (x₁ - 3)² + (x₂ - 2)² 约束条件： x₁² + x₂² - 4 ≤ 0 2 ≤ x₁ ≤ 3 x₂ ≥ 0 第四步：求解子问题并更新界限 求解子问题1： x₁* = 1, x₂* = √3 ≈ 1.73, f* ≈ 4.00 求解子问题2： x₁* = 2, x₂* = 0, f* = 1 + 4 = 5.00 当前最优整数解：x₁=1, x₂=√3, f=4.00（上界） 当前最优下界：min(4.00, 5.00) = 4.00 第五步：第二次分支和剪枝 由于子问题2的目标值5.00大于当前上界4.00，我们可以剪枝（排除该分支）。 现在我们需要在子问题1的基础上进一步分支，因为虽然x₁是整数，但我们需要检查是否有更好的解。 第六步：深入分析可行域 实际上，我们需要重新审视问题。约束条件x₁² + x₂² ≤ 4是一个圆域。可能的整数x₁值有：0, 1, 2, 3 当x₁=0时：x₂² ≤ 4 ⇒ 0 ≤ x₂ ≤ 2 最优解：x₂=2（最接近目标点(3,2)） f(0,2) = (0-3)² + (2-2)² = 9 当x₁=1时：1 + x₂² ≤ 4 ⇒ 0 ≤ x₂ ≤ √3 ≈ 1.73 最优解：x₂=1.73 f(1,1.73) = (1-3)² + (1.73-2)² = 4 + 0.07 = 4.07 当x₁=2时：4 + x₂² ≤ 4 ⇒ x₂ = 0 f(2,0) = (2-3)² + (0-2)² = 1 + 4 = 5 当x₁=3时：9 + x₂² ≤ 4 ⇒ 无可行解 第七步：确定全局最优解 比较所有可行整数解： (0,2): f=9 (1,√3): f≈4.07 (2,0): f=5 全局最优解：x₁=1, x₂=√3≈1.73, f≈4.07 算法总结 分支定界法的关键要点： 松弛问题提供下界，帮助判断解的质量 当前最佳整数解提供上界，用于剪枝 系统性的分支策略确保找到全局最优解 有效的剪枝策略大幅减少计算量 对于更复杂的问题，分支定界法可以结合各种优化技术，如预处理、启发式、割平面等，进一步提高求解效率。