高斯混合模型（GMM）的参数估计与EM算法求解过程 我将详细讲解高斯混合模型（GMM）的参数估计过程，特别是如何通过EM算法来求解这个经典的聚类和密度估计问题。 题目描述 高斯混合模型是用多个高斯分布的加权和来近似复杂数据分布的生成式模型。假设我们有n个d维数据点{x₁, x₂, ..., xₙ}，这些数据由K个高斯分布混合生成。模型参数θ = {π₁,...,πₖ, μ₁,...,μₖ, Σ₁,...,Σₖ}，其中πₖ是混合系数，μₖ是均值向量，Σₖ是协方差矩阵。 解题过程 1. 模型建立与隐变量引入 首先建立GMM的概率密度函数： p(x|θ) = Σₖ₌₁ᴷ πₖN(x|μₖ, Σₖ) 其中N(x|μₖ, Σₖ)是第k个高斯分布的概率密度函数。 为了简化参数估计，我们引入隐变量z，其中zₖ表示数据点x属于第k个高斯分布的概率。这样，完全数据的似然函数为： p(X,Z|θ) = ∏ᵢ₌₁ⁿ ∏ₖ₌₁ᴷ [ πₖN(xᵢ|μₖ, Σₖ) ]^{zᵢₖ} 2. E步：计算后验概率 在E步中，我们基于当前参数θ⁽ᵗ⁾计算隐变量的后验分布： γ(zᵢₖ) = p(zₖ=1|xᵢ, θ⁽ᵗ⁾) = πₖN(xᵢ|μₖ, Σₖ) / Σⱼ₌₁ᴷ πⱼN(xᵢ|μⱼ, Σⱼ) 这个γ(zᵢₖ)就是数据点xᵢ属于第k个高斯分布的后验概率，通常称为"责任值"。 3. M步：更新模型参数 在M步中，我们基于E步计算的责任值来最大化期望似然函数，更新模型参数： 更新混合系数： πₖ⁽ᵗ⁺¹⁾ = (1/n) Σᵢ₌₁ⁿ γ(zᵢₖ) 更新均值向量： μₖ⁽ᵗ⁺¹⁾ = (Σᵢ₌₁ⁿ γ(zᵢₖ)xᵢ) / (Σᵢ₌₁ⁿ γ(zᵢₖ)) 更新协方差矩阵： Σₖ⁽ᵗ⁺¹⁾ = (Σᵢ₌₁ⁿ γ(zᵢₖ)(xᵢ - μₖ⁽ᵗ⁺¹⁾)(xᵢ - μₖ⁽ᵗ⁺¹⁾)ᵀ) / (Σᵢ₌₁ⁿ γ(zᵢₖ)) 4. 收敛判断 重复执行E步和M步，直到满足以下任一收敛条件： 参数变化小于阈值：‖θ⁽ᵗ⁺¹⁾ - θ⁽ᵗ⁾‖ < ε 似然函数变化小于阈值：|L(θ⁽ᵗ⁺¹⁾) - L(θ⁽ᵗ⁾)| < ε 达到最大迭代次数 5. 模型选择与初始化 在实际应用中，还需要注意： 使用K-means或随机初始化来设置初始参数 通过交叉验证或信息准则（如AIC、BIC）来选择最优的混合分量数K 处理协方差矩阵可能出现的奇异性问题 这个EM算法过程保证了每次迭代都能提高似然函数值，最终收敛到局部最优解，为复杂的数据分布提供了一个灵活而强大的建模工具。