此时核函数 $ e^{-t^2/k^2} $ 在 $ t=0 $ 附近更平缓，但需注意 $ k $ 较大时核的衰减变慢，可能需结合复合高斯求积。

高斯-埃尔米特求积公式在带边界层函数积分中的权函数匹配技巧 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 附近存在边界层（即函数在局部区域变化剧烈）。高斯-埃尔米特求积公式的权函数 \( e^{-x^2} \) 与积分核匹配，但边界层特性可能导致标准公式的节点分布无法捕捉剧烈变化，需通过权函数匹配技巧优化节点选择与权重分配。 解题过程 问题分析 高斯-埃尔米特求积公式适用于积分形式 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} g(x) \, dx \)，其节点和权重由埃尔米特多项式的零点确定。 若 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处存在边界层（例如 \( f(x) = \tanh(kx) \) 或 \( e^{-k|x|} \)，\( k \gg 1 \)），则函数在边界层内梯度极大，标准节点可能分布稀疏，导致积分误差显著。 权函数匹配的核心思想 通过变量替换或权重调整，使求积公式的权函数与边界层特性“匹配”，从而将边界层的剧烈变化吸收到变换后的函数中，使新的被积函数更平滑。 具体方法：构造辅助函数 \( h(x) = f(x) / w(x) \)，其中 \( w(x) \) 为与边界层衰减特性匹配的权函数（如 \( e^{-\alpha |x|} \) 或 \( e^{-\beta x^2} \)），再通过高斯求积公式计算 \( \int w(x) h(x) \, dx \)。 步骤详解 步骤1：边界层特性识别 假设 \( f(x) = \tanh(kx) \)，在 \( x=0 \) 附近变化尺度为 \( O(1/k) \)。分析 \( f(x) \) 的导数，确定边界层宽度 \( \delta \sim 1/k \)。 步骤2：选择匹配的权函数 标准高斯-埃尔米特公式的权函数为 \( e^{-x^2} \)，但边界层函数在原点附近集中。若边界层衰减形式为 \( e^{-\alpha |x|} \)，可引入权函数 \( w(x) = e^{-\alpha |x|} \)，并通过变量替换将积分化为： \[ I = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx = \int_ {-\infty}^{\infty} w(x) \left[ \frac{e^{-x^2} f(x)}{w(x)} \right ] dx. \] 需确保新权函数 \( w(x) \) 对应的正交多项式已知（如拉盖尔多项式用于半无限区间）。 步骤3：变量替换与积分变换 若直接使用 \( w(x) = e^{-x^2} \) 无法处理边界层，可尝试伸缩变换：令 \( t = kx \)，积分变为 \[ I = \frac{1}{k} \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-t^2/k^2} f(t/k) \, dt. \] 此时核函数 \( e^{-t^2/k^2} \) 在 \( t=0 \) 附近更平缓，但需注意 \( k \) 较大时核的衰减变慢，可能需结合复合高斯求积。 步骤4：自适应节点加密 在边界层区域（如 \( |x| < 2/k \)）内增加高斯-埃尔米特节点密度： 将积分区间拆分为 \( (-\infty, -a] \cup [ -a, a] \cup [ a, \infty) \)，其中 \( a = O(1/k) \)。 在 \( [ -a, a ] \) 使用高节点数的高斯-勒让德公式（因区间有限），在外部区间使用标准高斯-埃尔米特公式。 步骤5：数值验证与误差控制 通过残差估计或与已知解析解（如 \( f(x) = \tanh(kx) \) 时 \( I=0 \)）对比，调整节点数或区间分割点 \( a \)。 若边界层对称，可仅计算 \( [ 0, \infty) \) 区间并加倍结果，利用对称性减少计算量。 示例计算 设 \( f(x) = \tanh(100x) \)，取 \( a=0.05 \)，在 \( [ -0.05, 0.05 ] \) 使用100点高斯-勒让德公式，外部使用20点高斯-埃尔米特公式，积分结果误差可控制在 \( 10^{-10} \) 以内。 关键点总结 权函数匹配的本质是通过函数变换将边界层特性转移到权函数或节点分布中。 对于非标准权函数，需结合区间分割与变量替换，使各子区间内的被积函数更平滑。 对称性和衰减特性的利用能显著提升计算效率。