Householder反射器在QR分解中的构造与应用 我将为您讲解Householder反射器在QR分解中的构造与应用。这是一个基础但重要的线性代数算法。 问题背景 QR分解是将一个矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积。Householder反射器是实现QR分解的一种数值稳定方法，特别适合数值计算。 基本概念 Householder反射器是一种正交变换，能够将向量反射到某个坐标轴方向上。其核心思想是通过反射操作逐步将矩阵的列向量化为上三角形式。 构造过程 反射器定义 对于任意非零向量v，Householder反射器定义为： H = I - 2(uuᵀ)/(uᵀu) 其中u是反射方向的单位向量。 反射器构造步骤 给定一个向量x，我们希望构造反射器H使得Hx = αe₁（e₁是第一个标准基向量）： 计算σ = ||x||₂（向量的2-范数） 令α = -sign(x₁)σ（保持数值稳定性） 构造向量u = x - αe₁ 计算ρ = 2/(uᵀu) 得到反射器H = I - ρ(uuᵀ) QR分解算法 逐步约化过程 设A是m×n矩阵（m ≥ n），QR分解的步骤如下： 对于k = 1到n： a. 考虑子矩阵A(k:m, k:n) b. 取第一列x = A(k:m, k) c. 构造Householder反射器Hₖ使得Hₖx = αe₁ d. 将Hₖ应用到A(k:m, k:n)上：A(k:m, k:n) = HₖA(k:m, k:n) e. 记录反射器参数（u向量和ρ值） 存储效率优化 实际计算中，我们不需要显式构造H矩阵，而是： 将u向量存储在A的零元素位置 将ρ值单独存储 通过向量运算直接更新矩阵 数值性质 稳定性分析 Householder QR分解具有很好的数值性质： 向后稳定：计算解满足(A + δA)Q = R，其中||δA||与机器精度相关 保持正交性：即使存在舍入误差，Q仍然接近正交矩阵 条件数无关：数值稳定性不依赖于矩阵条件数 应用实例 求解线性最小二乘问题 对于超定系统Ax ≈ b： 计算QR分解：A = QR 问题转化为：min ||Qᵀb - Rx||₂ 由于R是上三角矩阵，可通过回代求解 算法优势 比Gram-Schmidt方法数值更稳定 适合稠密矩阵和特定稀疏结构 可并行化实现 内存访问模式规整 这个算法在科学计算、信号处理、统计学等领域有广泛应用，是许多高级数值算法的基础构建块。