高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧

字数 2363 2025-11-18 04:25:04

高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

其中被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处具有奇异性（即分母 \(\sqrt{1-x^2}\) 在端点趋于零导致被积函数无界）。要求通过正则化变换消除奇异性，并利用高斯-切比雪夫求积公式进行高效计算。

解题过程

1. 问题分析
原积分包含权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，这正是第一类切比雪夫求积公式的权函数。但直接应用高斯-切比雪夫公式需满足 \(f(x)\) 在区间 \([-1,1]\) 上光滑，而若 \(f(x)\) 本身在端点处非零（例如 \(f(x) = e^x\)），则被积函数 \(\frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}\) 在端点仍发散。需通过变量替换消除奇异性。

2. 正则化变换
引入变量替换：

\[x = \cos \theta, \quad dx = -\sin \theta \, d\theta \]

积分区间变为 \(\theta \in [0, \pi]\)。代入原积分：

\[I = \int_{0}^{\pi} \frac{f(\cos \theta)}{\sqrt{1-\cos^2 \theta}} (-\sin \theta) \, d\theta \]

利用恒等式 \(\sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sin \theta\)（在 \([0,\pi]\) 上 \(\sin \theta \geq 0\)），化简为：

\[I = \int_{0}^{\pi} f(\cos \theta) \, d\theta \]

关键效果：分母的奇异性被分子中的 \(\sin \theta\) 抵消，被积函数化为 \(f(\cos \theta)\)，在 \(\theta \in [0, \pi]\) 上光滑（若 \(f\) 光滑）。

3. 应用高斯-切比雪夫求积公式
第一类高斯-切比雪夫求积公式的节点和权重为：

节点：\(x_k = \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n} \quad (k=1,2,\dots,n)\)
权重：\(w_k = \frac{\pi}{n}\)
公式形式为：

\[\int_{-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k g(x_k) \]

注意：此公式要求 \(g(x)\) 在区间内光滑。但原问题中 \(g(x) = f(x)\) 可能不满足此条件（因端点奇异性）。通过步骤2的变换，我们实际计算的是：

\[I = \int_{0}^{\pi} f(\cos \theta) \, d\theta \]

此积分可视为周期函数积分，适用梯形公式或直接利用切比雪夫公式的另一种形式：
对积分 \(\int_{0}^{\pi} h(\theta) \, d\theta\)，若令 \(h(\theta) = f(\cos \theta)\)，则高斯-切比雪夫公式的节点 \(\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}\) 对应 \(x_k = \cos \theta_k\)，且权重为常数 \(\frac{\pi}{n}\)。因此：

\[I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \]

此即正则化后的数值积分公式。

4. 误差分析

变换后误差：高斯-切比雪夫公式对周期函数积分具有指数收敛速度（若 \(f(\cos \theta)\) 解析）。
奇异性消除：原积分在端点发散，变换后被积函数 \(f(\cos \theta)\) 在 \([0,\pi]\) 上光滑，保证收敛性。
节点分布：节点 \(\theta_k\) 在 \([0,\pi]\) 上均匀分布，但映射回 \(x\)-空间后，节点在端点处更密集（因 \(x = \cos \theta\)），自然处理奇异性。

5. 示例计算
设 \(f(x) = e^x\)，计算 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)。

解析解为 \(I = \pi I_0(1) \approx 3.9774632605\)（\(I_0\) 为修正贝塞尔函数）。
取 \(n=5\)，节点和权重为：
\(\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{10}\), \(x_k = \cos \theta_k\), \(w_k = \frac{\pi}{5}\)。
计算近似值：

\[I \approx \frac{\pi}{5} \sum_{k=1}^{5} e^{\cos \theta_k} = 3.977463 \]

与解析解高度一致。

总结
通过正则化变换 \(x = \cos \theta\) 消除端点奇异性，将原积分转化为光滑函数的周期积分，再应用高斯-切比雪夫求积公式，实现高效且高精度的计算。此方法适用于任何在端点处由权函数引起奇异性的积分。

高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧题目描述计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 其中被积函数在端点 \( x = \pm 1 \) 处具有奇异性（即分母 \(\sqrt{1-x^2}\) 在端点趋于零导致被积函数无界）。要求通过正则化变换消除奇异性，并利用高斯-切比雪夫求积公式进行高效计算。解题过程 1. 问题分析原积分包含权函数 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)，这正是第一类切比雪夫求积公式的权函数。但直接应用高斯-切比雪夫公式需满足 \( f(x) \) 在区间 \([ -1,1 ]\) 上光滑，而若 \( f(x) \) 本身在端点处非零（例如 \( f(x) = e^x \)），则被积函数 \( \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \) 在端点仍发散。需通过变量替换消除奇异性。 2. 正则化变换引入变量替换： \[ x = \cos \theta, \quad dx = -\sin \theta \, d\theta \] 积分区间变为 \( \theta \in [ 0, \pi ] \)。代入原积分： \[ I = \int_ {0}^{\pi} \frac{f(\cos \theta)}{\sqrt{1-\cos^2 \theta}} (-\sin \theta) \, d\theta \] 利用恒等式 \( \sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sin \theta \)（在 \( [ 0,\pi ] \) 上 \(\sin \theta \geq 0\)），化简为： \[ I = \int_ {0}^{\pi} f(\cos \theta) \, d\theta \] 关键效果：分母的奇异性被分子中的 \( \sin \theta \) 抵消，被积函数化为 \( f(\cos \theta) \)，在 \( \theta \in [ 0, \pi ] \) 上光滑（若 \( f \) 光滑）。 3. 应用高斯-切比雪夫求积公式第一类高斯-切比雪夫求积公式的节点和权重为：节点：\( x_ k = \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n} \quad (k=1,2,\dots,n) \) 权重：\( w_ k = \frac{\pi}{n} \) 公式形式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k g(x_ k) \] 注意：此公式要求 \( g(x) \) 在区间内光滑。但原问题中 \( g(x) = f(x) \) 可能不满足此条件（因端点奇异性）。通过步骤2的变换，我们实际计算的是： \[ I = \int_ {0}^{\pi} f(\cos \theta) \, d\theta \] 此积分可视为周期函数积分，适用梯形公式或直接利用切比雪夫公式的另一种形式：对积分 \( \int_ {0}^{\pi} h(\theta) \, d\theta \)，若令 \( h(\theta) = f(\cos \theta) \)，则高斯-切比雪夫公式的节点 \( \theta_ k = \frac{(2k-1)\pi}{2n} \) 对应 \( x_ k = \cos \theta_ k \)，且权重为常数 \( \frac{\pi}{n} \)。因此： \[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f\left( \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \] 此即正则化后的数值积分公式。 4. 误差分析变换后误差：高斯-切比雪夫公式对周期函数积分具有指数收敛速度（若 \( f(\cos \theta) \) 解析）。奇异性消除：原积分在端点发散，变换后被积函数 \( f(\cos \theta) \) 在 \( [ 0,\pi ] \) 上光滑，保证收敛性。节点分布：节点 \( \theta_ k \) 在 \( [ 0,\pi ] \) 上均匀分布，但映射回 \( x \)-空间后，节点在端点处更密集（因 \( x = \cos \theta \)），自然处理奇异性。 5. 示例计算设 \( f(x) = e^x \)，计算 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)。解析解为 \( I = \pi I_ 0(1) \approx 3.9774632605 \)（\( I_ 0 \) 为修正贝塞尔函数）。取 \( n=5 \)，节点和权重为： \( \theta_ k = \frac{(2k-1)\pi}{10} \), \( x_ k = \cos \theta_ k \), \( w_ k = \frac{\pi}{5} \)。计算近似值： \[ I \approx \frac{\pi}{5} \sum_ {k=1}^{5} e^{\cos \theta_ k} = 3.977463 \] 与解析解高度一致。总结通过正则化变换 \( x = \cos \theta \) 消除端点奇异性，将原积分转化为光滑函数的周期积分，再应用高斯-切比雪夫求积公式，实现高效且高精度的计算。此方法适用于任何在端点处由权函数引起奇异性的积分。