其中 $ x_i $ 为勒让德多项式 $ P_n(x) $ 的根，$ w_i $ 为对应权重。  

高斯-勒让德求积公式在带边界层函数积分中的局部自适应策略 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 上存在边界层现象，即函数在端点附近（如 \( x = \pm 1 \)）变化剧烈，而在区间中部较为平缓。例如 \( f(x) = e^{-100(1-x^2)} \) 在 \( x = \pm 1 \) 附近梯度极大。要求通过高斯-勒让德求积公式结合局部自适应策略，以较少的计算量达到指定精度。 解题过程 问题分析 边界层问题中，函数在端点附近的高阶导数很大，导致均匀划分区间时需极多节点才能捕捉剧烈变化。 高斯-勒让德求积公式在光滑区间上高效，但对边界层需局部加密节点。 自适应策略的核心：在梯度变化大的子区间细分，平缓区间用较少节点。 高斯-勒让德求积公式基础 \( n \) 点公式： \[ \int_ {-1}^{1} g(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i g(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 为勒让德多项式 \( P_ n(x) \) 的根，\( w_ i \) 为对应权重。 优点：对 \( 2n-1 \) 次多项式精确，节点非均匀分布（在端点附近更密集）。 自适应策略设计 步骤1：全局初步划分 将 \([ -1, 1 ]\) 等分为若干子区间（如4个），在每个子区间应用低阶（如3点）高斯-勒让德求积。 步骤2：误差估计 对每个子区间 \([ a,b]\)，计算低阶结果 \( I_ {\text{low}} \) 和高阶结果 \( I_ {\text{high}} \)（如5点公式），以差值 \( E = |I_ {\text{high}} - I_ {\text{low}}| \) 作为误差估计。 步骤3：局部细分判定 若子区间的 \( E > \text{tol} \times (b-a)/2 \)（其中 \(\text{tol}\) 为全局容差），则将其二分，递归处理新子区间。 步骤4：边界层特殊处理 在端点附近（如 \([ -1, -0.9]\) 和 \([ 0.9, 1 ]\)）初始划分更细，或根据梯度检测自动调整容差。 算法实现示例 递归函数 adaptive_gl(f, a, b, tol) ： 在 \([ a,b]\) 上计算3点与5点高斯-勒让德积分值 \( I_ 3, I_ 5 \)。 若 \( |I_ 5 - I_ 3| < \text{tol} \times (b-a)/2 \)，返回 \( I_ 5 \) 作为该区间积分值。 否则，计算中点 \( c = (a+b)/2 \)，递归调用： \[ \text{adaptive_ gl}(f, a, c, \text{tol}/2) + \text{adaptive_ gl}(f, c, b, \text{tol}/2) \] 初始调用： adaptive_gl(f, -1, 1, 1e-6) 。 效果与注意事项 边界层区域因误差超差被反复细分，平缓区域快速收敛，减少总计算量。 避免过度细分：设置最小区间长度或最大递归深度。 实际案例中，对 \( f(x) = e^{-100(1-x^2)} \)，自适应策略比均匀划分节省超过50%的节点数。 总结 通过结合高斯-勒让德公式的高精度和自适应细分的灵活性，可高效处理边界层问题，核心在于基于局部误差的递归控制与边界层的优先处理。