扩散模型（Diffusion Model）中的噪声调度（Noise Scheduling）机制 题目描述 噪声调度是扩散模型的核心组件之一，它控制着前向加噪过程中每一步添加的噪声强度。合理的噪声调度策略能显著影响模型训练稳定性和生成质量。需要深入理解噪声调度的数学原理、常见策略设计及其对去噪过程的影响。 解题过程 1. 噪声调度的基本作用 在前向扩散过程中，原始数据 \( x_ 0 \) 通过 \( T \) 步逐步添加高斯噪声，最终转化为纯噪声 \( x_ T \)。第 \( t \) 步的加噪公式为： \[ x_ t = \sqrt{\alpha_ t} x_ {t-1} + \sqrt{1 - \alpha_ t} \epsilon, \quad \epsilon \sim \mathcal{N}(0, I) \] 其中 \( \alpha_ t \) 是噪声调度参数，控制当前步保留原始信号的比率。噪声调度的本质是设计序列 \( \{\alpha_ t\}_ {t=1}^T \)，决定每一步的噪声强度。 2. 噪声调度的数学建模 通过重参数化技巧，可直接从 \( x_ 0 \) 计算 \( x_ t \)： \[ x_ t = \sqrt{\bar{\alpha}_ t} x_ 0 + \sqrt{1 - \bar{\alpha}_ t} \epsilon, \quad \bar{\alpha} t = \prod {i=1}^t \alpha_ i \] 这里 \( \bar{\alpha}_ t \) 是累积乘积，其值随 \( t \) 增大从 1 衰减到 0。噪声调度的设计即规划 \( \bar{\alpha}_ t \) 的衰减轨迹： 当 \( \bar{\alpha}_ t \approx 1 \)：\( x_ t \) 接近原始数据 当 \( \bar{\alpha}_ t \approx 0 \)：\( x_ t \) 接近纯噪声 3. 线性调度与余弦调度的对比 线性调度 ：DDPM 原始方案设 \( \beta_ t \) 线性增长（\( \beta_ t = 0.0001 \to 0.02 \)），则 \( \alpha_ t = 1 - \beta_ t \)。问题在于后期 \( \bar{\alpha}_ t \) 衰减过快，中间步骤的噪声强度变化不均衡。 余弦调度 ：改进方案直接定义 \( \bar{\alpha}_ t = \frac{\cos(t/T + s}{1+s} \cdot \frac{\pi}{2})}{\cos(s \cdot \pi/2)} \)，其中 \( s=0.008 \) 防止 \( \bar{\alpha}_ T \) 过小。优势在于噪声强度变化更平缓，特别改善极早期和极晚期的过渡。 4. 噪声调度对训练的影响 训练时模型预测噪声 \( \epsilon_ \theta(x_ t, t) \)，损失函数为： \[ L = \mathbb{E} {t,x_ 0,\epsilon} \left[ \| \epsilon - \epsilon \theta(x_ t, t) \|^2 \right ] \] 噪声调度影响： 不同 \( t \) 对应的噪声强度分布 模型在各噪声水平的训练样本比例 反向去噪过程的初始点选择 5. 实际实现细节 以余弦调度为例的实现步骤： 预计算所有 \( t \) 对应的 \( \bar{\alpha}_ t \) 并存储 训练时随机采样 \( t \sim \mathcal{U}\{1, T\} \) 根据 \( \bar{\alpha}_ t \) 和重参数化公式生成噪声样本 \( x_ t \) 将 \( t \) 转换为位置编码输入模型 计算噪声预测的均方误差损失 总结 噪声调度是扩散模型实现高效去噪的关键。余弦调度通过平滑的噪声强度过渡，使模型更均衡地学习所有噪声水平的去噪任务，相比线性调度能提升生成效果的清晰度和细节丰富度。实际应用中需根据数据特性调试偏移参数 \( s \) 和总步数 \( T \)。