列生成算法在路径规划问题中的应用示例
我将为您详细讲解列生成算法在路径规划问题中的应用，包括问题描述和完整的求解过程。
问题描述
考虑一个物流公司的车辆路径规划问题：
- 有n个客户点需要服务，每个客户点有特定的货物需求量
- 公司有一个配送中心，拥有多辆货车
- 每辆货车有最大载重限制
- 目标是在满足所有客户需求的前提下，最小化总行驶距离
- 同时要满足：每辆车从配送中心出发，服务若干客户后返回配送中心；每个客户只被一辆车服务一次
这是一个经典的车辆路径问题(VRP)，当问题规模较大时，直接求解非常困难。
数学建模
设：
- \(V = \{0,1,2,...,n\}\) 为节点集合，其中0表示配送中心
- \(K\) 为车辆集合
- \(d_i\) 为客户i的需求量
- \(Q\) 为车辆最大载重
- \(c_{ij}\) 为从节点i到节点j的行驶距离
这个问题的数学模型可以表示为集合覆盖形式，其中每个列代表一条可行的车辆路径。
列生成求解过程
步骤1：构造限制主问题(RMP)
初始时，我们只考虑一个小的路径集合（可以是很简单的路径，如每辆车只服务一个客户）。
限制主问题为：
\[\min \sum_{p \in P} c_p \theta_p \]
\[\text{s.t.} \sum_{p \in P} a_{ip} \theta_p = 1, \quad \forall i \in V \backslash \{0\} \]
\[\sum_{p \in P} \theta_p \leq |K| \]
\[\theta_p \in \{0,1\}, \quad \forall p \in P \]
其中：
- \(P\) 是当前考虑的路径集合
- \(c_p\) 是路径p的成本（行驶距离）
- \(a_{ip} = 1\) 如果路径p服务客户i，否则为0
- \(\theta_p = 1\) 如果选择路径p，否则为0
步骤2：求解RMP的线性松弛
首先求解RMP的线性松弛版本（将\(\theta_p \in \{0,1\}\) 松弛为 \(\theta_p \geq 0\)）。
设对偶变量为：
- \(\pi_i\)：对应每个客户覆盖约束的对偶变量
- \(\pi_0\)：对应车辆数量约束的对偶变量
步骤3：定价子问题（寻找负检验数的列）
定价子问题是要找到检验数\(\bar{c}_p = c_p - \sum_{i \in V \backslash \{0\}} a_{ip} \pi_i - \pi_0 < 0\) 的路径。
这等价于求解一个带资源约束的最短路径问题：
\[\min \sum_{(i,j) \in A} (c_{ij} - \pi_j)x_{ij} - \pi_0 \]
\[\text{s.t.} \sum_j x_{0j} = 1, \quad \sum_j x_{j0} = 1 \]
\[\sum_j x_{ji} - \sum_j x_{ij} = 0, \quad \forall i \in V \backslash \{0\} \]
\[\sum_{i \in S} d_i \sum_j x_{ij} \leq Q, \quad \forall S \subseteq V \backslash \{0\} \]
\[x_{ij} \in \{0,1\} \]
这个子问题可以用动态规划或标签算法求解。
步骤4：迭代过程
重复以下步骤直到收敛：
- 求解RMP：求解当前限制主问题的线性松弛，得到对偶变量值
- 求解定价子问题：使用对偶变量值寻找负检验数的列
- 添加新列：如果找到负检验数的列，将其添加到RMP中；否则，当前解是最优的
步骤5：获得整数解
当列生成过程收敛后，我们得到了线性松弛的最优解。为了获得整数解，我们需要：
- 对最终的RMP（包含所有生成的列）求解整数规划
- 或者使用分支定价算法进行分支定界
实例演示
考虑一个简单实例：
- 配送中心：节点0
- 客户点：节点1,2,3
- 需求：\(d_1=2, d_2=3, d_3=1\)
- 车辆容量：\(Q=4\)
- 距离矩阵：对称，\(c_{01}=10, c_{02}=15, c_{03}=12, c_{12}=8, c_{13}=9, c_{23}=7\)
初始列生成：
初始路径集合：\(\{0-1-0\}, \{0-2-0\}, \{0-3-0\}\)
第一次迭代：
- 求解RMP线性松弛，得到对偶变量值
- 求解定价子问题，发现路径\(\{0-1-3-0\}\)的检验数为负
- 添加该路径到RMP
第二次迭代：
- 重新求解RMP，更新对偶变量
- 求解定价子问题，发现路径\(\{0-2-3-0\}\)的检验数为负
- 添加该路径到RMP
收敛：
- 再次求解定价子问题，没有找到负检验数的列
- 当前解已是最优线性松弛解
最终得到的最优解使用两辆车：一辆服务客户1和3，另一辆服务客户2。
算法优势
列生成算法在此类路径规划问题中的优势：
- 处理大规模问题：不需要枚举所有可能的路径
- 内存效率高：只维护一个较小的路径集合
- 求解质量好：能够找到接近最优的解决方案
- 灵活性：容易加入各种实际约束条件
这种方法在实际的物流配送、快递服务等领域有广泛应用。