石子游戏 IX

题目描述

Alice 和 Bob 轮流从一堆石子中取石子，Alice 先手。这堆石子总共有 n 个石子，每个石子有一个价值，价值只能是 1、2 或 3。游戏的规则如下：

• 每个玩家在自己的回合，可以从石子堆的剩余石子中取出一个石子。
• 取出石子后，如果玩家取出的石子价值与之前已被取出的所有石子的价值总和（即历史价值总和）模 3 等于 0，则该玩家输掉游戏。
• 如果所有石子都被取完，仍未有玩家触发输的条件，则最后取石子的玩家输掉游戏。

给定一个石子价值数组 stones，其中 stones[i] 表示第 i 个石子的价值（1、2 或 3）。假设两位玩家都采用最优策略，如果 Alice 获胜返回 true，否则返回 false。

解题过程

这个问题可以通过区间动态规划结合状态压缩来解决。由于石子的价值只有 1、2、3 三种，我们可以统计每种价值的石子数量，并用状态 (c1, c2, c3, mod) 来表示当前剩余石子情况，其中 c1, c2, c3 分别表示剩余价值为 1、2、3 的石子数量，mod 表示当前已取石子价值总和模 3 的结果。

步骤 1：问题分析

1. 游戏的关键是避免在取石子后使总价值 mod 3 = 0
2. 每个玩家轮流取一个石子，石子价值只能是 1、2、3
3. 需要判断在最优策略下先手是否能获胜

步骤 2：状态定义

定义 dp[c1][c2][c3][mod] 表示在当前剩余 c1 个价值1石子、c2 个价值2石子、c3 个价值3石子，且当前总价值 mod 3 的情况下，当前玩家是否能获胜。

• dp 值为 true 表示当前玩家能获胜
• dp 值为 false 表示当前玩家会输

步骤 3：状态转移

对于状态 (c1, c2, c3, mod)，当前玩家可以选择取：

1. 价值为 1 的石子：如果 c1 > 0

   • 新 mod = (mod + 1) % 3
   • 如果新 mod = 0，当前玩家立即输掉
   • 否则，轮到对手在状态 (c1-1, c2, c3, 新 mod) 下行动

2. 价值为 2 的石子：如果 c2 > 0

   • 新 mod = (mod + 2) % 3
   • 如果新 mod = 0，当前玩家立即输掉
   • 否则，轮到对手在状态 (c1, c2-1, c3, 新 mod) 下行动

3. 价值为 3 的石子：如果 c3 > 0

   • 新 mod = (mod + 3) % 3 = mod
   • 如果新 mod = 0，当前玩家立即输掉
   • 否则，轮到对手在状态 (c1, c2, c3-1, mod) 下行动

状态转移方程：
dp[c1][c2][c3][mod] = 存在一种选择，使得要么：

• 对手在下一状态会输，即 dp[新状态] = false
• 或者当前选择直接获胜（这种情况不会发生，因为选择后不会立即获胜）

步骤 4：边界条件

当没有石子剩余时（c1 = c2 = c3 = 0）：

• 根据规则，最后取石子的玩家输掉游戏
• 所以 dp[0][0][0][mod] = false（当前玩家输）

步骤 5：算法实现

使用记忆化搜索实现：

def stoneGameIX(stones):
    from functools import lru_cache
    
    count = [0, 0, 0]
    for stone in stones:
        count[stone % 3] += 1
    
    @lru_cache(None)
    def dfs(c1, c2, c3, mod):
        # 如果没有石子可取了
        if c1 == 0 and c2 == 0 and c3 == 0:
            return False  # 最后取石子的玩家输
        
        result = False
        
        # 尝试取价值为1的石子
        if c1 > 0:
            new_mod = (mod + 1) % 3
            if new_mod != 0:  # 如果不会立即输
                if not dfs(c1-1, c2, c3, new_mod):
                    result = True
        
        # 尝试取价值为2的石子
        if c2 > 0:
            new_mod = (mod + 2) % 3
            if new_mod != 0:  # 如果不会立即输
                if not dfs(c1, c2-1, c3, new_mod):
                    result = True
        
        # 尝试取价值为3的石子
        if c3 > 0:
            new_mod = mod  # (mod + 3) % 3 = mod
            if new_mod != 0:  # 如果不会立即输
                if not dfs(c1, c2, c3-1, new_mod):
                    result = True
        
        return result
    
    return dfs(count[1], count[2], count[3], 0)

步骤 6：优化分析

实际上，这个问题可以通过数学分析来优化：

1. 价值为 3 的石子不会改变 mod 值，可以看作"安全"的石子
2. 价值为 1 和 2 的石子会改变 mod 值
3. 游戏的关键在于价值 1 和 2 的石子的相对数量

简化规则：

• 如果价值 1 的石子数量为 0：Alice 只能从价值 2 开始，游戏变成模 2 的循环
• 如果价值 2 的石子数量为 0：Alice 只能从价值 1 开始，游戏变成模 1 的循环
• 如果两者都有，Alice 可以选择最优开局

步骤 7：最终简化解法

def stoneGameIX(stones):
    cnt = [0, 0, 0]
    for stone in stones:
        cnt[stone % 3] += 1
    
    # 如果价值1或价值2的石子数量为0
    if cnt[1] == 0:
        # 只能从价值2开始，需要至少2个价值2的石子
        return cnt[2] > 2 and cnt[0] % 2 == 1
    if cnt[2] == 0:
        # 只能从价值1开始，需要至少2个价值1的石子
        return cnt[1] > 2 and cnt[0] % 2 == 1
    
    # 一般情况：Alice可以选择最优开局
    return abs(cnt[1] - cnt[2]) > 2 or cnt[0] % 2 == 0

这个问题的关键在于理解模 3 的循环特性，以及如何通过分析石子价值的分布来判断先手优势。区间动态规划提供了理论基础，而数学优化则给出了高效的解决方案。