SHA-3（Keccak）海绵结构中的填充规则（Pad10\*1） 题目描述 在SHA-3哈希算法中，消息填充采用独特的"Pad10\*1"规则。该规则需将输入消息填充至分组长度（\( r \)）的整数倍，同时满足海绵结构的吸收要求。请详细解释Pad10\*1的填充步骤、参数设计及其在海绵结构中的作用。 1. 海绵结构基础 SHA-3使用海绵结构处理消息，其包含两个阶段： 吸收阶段 ：将填充后的消息分块与状态矩阵进行多轮混合。 挤压阶段 ：从状态矩阵中提取哈希值。 海绵结构的状态宽度 \( b = r + c \)，其中： \( r \)：比特率（bitrate），决定每块处理的消息长度。 \( c \)：容量（capacity），影响安全性，不直接处理消息。 SHA-3标准中 \( b = 1600 \) 比特（对应SHA3-224/256/384/512）。 2. 填充规则的目标 填充需满足三个核心要求： 长度对齐 ：填充后消息总长度为 \( r \) 的整数倍。 唯一性 ：避免不同消息填充后相同（如"abc"和"abc0x80"需区分）。 最小开销 ：填充比特数尽量少，通常为 \( 1 \) 到 \( r \) 比特。 3. Pad10\*1的具体步骤 设原始消息长度为 \( m \) 比特，填充规则如下： 添加首比特"1" ：在消息末尾追加一个比特"1"。 添加尾比特"1" ：在填充序列末尾追加一个比特"1"。 中间补"0" ：在两个"1"之间补充 \( k \) 个"0"，使得总长度满足： \[ m + 2 + k \equiv 0 \pmod{r} \] 其中 \( k \) 是满足条件的最小非负整数。 示例 （设 \( r = 8 \)）： 消息 "110101"（6比特）： 追加首"1" → "1101011" 需补 \( k = 0 \) 个"0"（因 \( 6+2=8 \) 已是 \( r \) 的倍数） 追加尾"1" → "11010111"（最终填充后为8比特）。 消息 "101"（3比特）： 追加首"1" → "1011" 需补 \( k = 4 \) 个"0"（因 \( 3+2+4=9 \) 不对齐，取 \( k=4 \) 使总长 \( 9+4-1=8 \)？修正：实际计算为 \( 3+2+k=5+k \)，需 \( 5+k \equiv 0 \pmod{8} \) → \( k=3 \)） 填充结果："1011" + "000" + "1" = "10110001"。 4. 填充规则的数学表达 Pad10\*1可表示为： \[ M_ {\text{padded}} = M \| 1 \| 0^k \| 1 \] 其中 \( k \) 满足： \[ (m + 2 + k) \mod r = 0 \] 最小非负解 \( k = (-m-2) \mod r \)。 注意 ：若 \( (-m-2) \mod r = 0 \)，则 \( k = 0 \)（无需补"0"），但首尾"1"仍存在。 5. 填充与海绵结构的交互 填充后消息被分为 \( r \) 比特的分组 \( P_ 0, P_ 1, \dots, P_ {t-1} \)。 吸收阶段：每个分组 \( P_ i \) 与状态的前 \( r \) 比特异或，后经Keccak-\( f \) 置换处理。 填充末尾的"1"确保状态在最后一轮处理后被扰动，避免固定点攻击。 6. 设计原理分析 首比特"1" ：标记消息结束，避免含"0"后缀的消息冲突（如"x"和"x\|0"）。 尾比特"1" ：与域分隔符结合，增强安全性（如SHAKE可扩展输出时调整填充）。 补"0"数量 ：通过模运算确保对齐，且 \( k \in [ 0, r-1 ] \) 保证最小填充长度。 7. 与其他填充规则的对比 SHA-256的填充 ：附加比特"1"后补多个"0"，最后64比特写消息长度（位填充）。 Pad10\*1的优势 ： 无需计算消息长度，适合流式处理。 固定首尾"1"简化硬件实现。 通过尾"1"实现域分隔，支持SHA-3变体（如SHAKE、cSHAKE）。 总结 Pad10\*1通过首尾"1"和动态补"0"实现高效填充，确保海绵结构的安全性和灵活性。其设计避免了长度扩展攻击，并适应SHA-3家族的多种模式。