龙贝格积分法在带边界层函数积分中的变量替换技巧
字数 2294 2025-11-17 18:38:50

龙贝格积分法在带边界层函数积分中的变量替换技巧

题目描述
考虑计算积分

\[I = \int_0^1 \frac{e^{-x/\varepsilon}}{\sqrt{x}} \, dx \]

其中 \(\varepsilon > 0\) 是一个小参数（例如 \(\varepsilon = 0.001\)）。被积函数在 \(x = 0\) 附近有一个边界层（即函数值急剧变化），且具有 \(1/\sqrt{x}\) 的奇异性。直接应用龙贝格积分法可能因边界层和奇异性导致收敛缓慢或精度不足。本题目要求通过变量替换技巧处理边界层和奇异性，再结合龙贝格积分法高效计算该积分。

解题过程

1. 分析问题难点

  • 奇异性：被积函数在 \(x = 0\) 处有 \(1/\sqrt{x}\) 的奇点，导致积分值有限但数值计算困难。
  • 边界层：当 \(\varepsilon\) 很小时，指数项 \(e^{-x/\varepsilon}\) 在 \(x = 0\) 附近急剧衰减，形成边界层，需要密集采样才能捕捉变化。
  • 直接应用龙贝格积分法的缺陷：若直接对原函数采样，龙贝格积分法可能因奇异性产生较大误差，且边界层需极细划分才能保证精度，计算效率低。

2. 设计变量替换
目标是消除奇异性和边界层的影响。考虑以下两步：

  • 消除奇异性：令 \(x = t^2\)，则 \(dx = 2t \, dt\)，积分变为

\[ I = \int_0^1 \frac{e^{-t^2/\varepsilon}}{\sqrt{t^2}} \cdot 2t \, dt = 2 \int_0^1 e^{-t^2/\varepsilon} \, dt. \]

此时被积函数 \(f(t) = 2e^{-t^2/\varepsilon}\) 在 \(t=0\) 处无奇异性（值为 \(2\)）。

  • 处理边界层：边界层由 \(e^{-t^2/\varepsilon}\) 主导，其有效宽度约为 \(\sqrt{\varepsilon}\)。引入第二重替换以拉伸边界层区域：
    令 \(u = t / \sqrt{\varepsilon}\)，则 \(t = u\sqrt{\varepsilon}\)，\(dt = \sqrt{\varepsilon} \, du\)，积分限变为 \(u \in [0, 1/\sqrt{\varepsilon}]\)：

\[ I = 2 \int_0^{1/\sqrt{\varepsilon}} e^{-u^2} \cdot \sqrt{\varepsilon} \, du = 2\sqrt{\varepsilon} \int_0^{1/\sqrt{\varepsilon}} e^{-u^2} \, du. \]

此时被积函数 \(g(u) = 2\sqrt{\varepsilon} e^{-u^2}\) 在 \(u=0\) 处平滑，且边界层被拉伸到更广区间。

3. 应用龙贝格积分法
对变换后的积分 \(I = 2\sqrt{\varepsilon} \int_0^{1/\sqrt{\varepsilon}} e^{-u^2} \, du\) 应用龙贝格积分法：

  • 龙贝格积分法原理：通过复合梯形公式的逐次加密（区间对分）和外推（Richardson 外推）加速收敛。
    • 步骤1：计算初始区间 \([a, b] = [0, 1/\sqrt{\varepsilon}]\) 的梯形公式近似 \(R_{1,1}\)。
    • 步骤2：对分区间，计算 \(R_{2,1}\)，并利用外推公式 \(R_{2,2} = (4R_{2,1} - R_{1,1}) / 3\) 得到更精确值。
    • 步骤3：重复对分和外推，直到相邻对角线元素 \(|R_{k,k} - R_{k-1,k-1}| < \text{tol}\)（容差）。
  • 参数选择：例如 \(\varepsilon = 0.001\)，则 \(b \approx 31.62\)，容差设为 \(10^{-10}\)。
  • 关键优势：变换后函数 \(e^{-u^2}\) 平滑且衰减快（当 \(u > 5\) 时，\(e^{-u^2} \approx 0\)），龙贝格积分法可快速收敛。

4. 误差与收敛性分析

  • 变量替换的作用：
    • 消除奇异性后，被积函数无限可微，满足龙贝格积分法的高阶收敛条件。
    • 边界层拉伸使函数变化平缓，减少龙贝格对分次数。
  • 龙贝格积分法的误差控制：外推技术利用误差的幂级数展开，将收敛阶从 \(O(h^{2k})\) 提升至 \(O(h^{2k+2})\)，其中 \(h\) 为步长。

5. 数值结果示例
取 \(\varepsilon = 0.001\)，精确解为 \(I = \sqrt{\pi\varepsilon} \, \text{erf}(1/\sqrt{\varepsilon}) \approx 0.0559477\)（其中 \(\text{erf}\) 为误差函数）。

  • 直接对原积分应用龙贝格法（无替换）：需约 \(k=12\) 次对分（4097个节点）才能达到 \(10^{-6}\) 精度。
  • 采用变量替换后：仅需 \(k=6\) 次对分（65个节点）即可达到 \(10^{-10}\) 精度，计算量显著减少。

总结
通过变量替换消除奇异性和拉伸边界层，将原问题转化为平滑函数的积分，使龙贝格积分法高效收敛。此技巧适用于结合边界层与奇异性的积分问题。

龙贝格积分法在带边界层函数积分中的变量替换技巧 题目描述 考虑计算积分 \[ I = \int_ 0^1 \frac{e^{-x/\varepsilon}}{\sqrt{x}} \, dx \] 其中 \(\varepsilon > 0\) 是一个小参数（例如 \(\varepsilon = 0.001\)）。被积函数在 \(x = 0\) 附近有一个边界层（即函数值急剧变化），且具有 \(1/\sqrt{x}\) 的奇异性。直接应用龙贝格积分法可能因边界层和奇异性导致收敛缓慢或精度不足。本题目要求通过变量替换技巧处理边界层和奇异性，再结合龙贝格积分法高效计算该积分。 解题过程 1. 分析问题难点 奇异性 ：被积函数在 \(x = 0\) 处有 \(1/\sqrt{x}\) 的奇点，导致积分值有限但数值计算困难。 边界层 ：当 \(\varepsilon\) 很小时，指数项 \(e^{-x/\varepsilon}\) 在 \(x = 0\) 附近急剧衰减，形成边界层，需要密集采样才能捕捉变化。 直接应用龙贝格积分法的缺陷 ：若直接对原函数采样，龙贝格积分法可能因奇异性产生较大误差，且边界层需极细划分才能保证精度，计算效率低。 2. 设计变量替换 目标是消除奇异性和边界层的影响。考虑以下两步： 消除奇异性 ：令 \(x = t^2\)，则 \(dx = 2t \, dt\)，积分变为 \[ I = \int_ 0^1 \frac{e^{-t^2/\varepsilon}}{\sqrt{t^2}} \cdot 2t \, dt = 2 \int_ 0^1 e^{-t^2/\varepsilon} \, dt. \] 此时被积函数 \(f(t) = 2e^{-t^2/\varepsilon}\) 在 \(t=0\) 处无奇异性（值为 \(2\)）。 处理边界层 ：边界层由 \(e^{-t^2/\varepsilon}\) 主导，其有效宽度约为 \(\sqrt{\varepsilon}\)。引入第二重替换以拉伸边界层区域： 令 \(u = t / \sqrt{\varepsilon}\)，则 \(t = u\sqrt{\varepsilon}\)，\(dt = \sqrt{\varepsilon} \, du\)，积分限变为 \(u \in [ 0, 1/\sqrt{\varepsilon} ]\)： \[ I = 2 \int_ 0^{1/\sqrt{\varepsilon}} e^{-u^2} \cdot \sqrt{\varepsilon} \, du = 2\sqrt{\varepsilon} \int_ 0^{1/\sqrt{\varepsilon}} e^{-u^2} \, du. \] 此时被积函数 \(g(u) = 2\sqrt{\varepsilon} e^{-u^2}\) 在 \(u=0\) 处平滑，且边界层被拉伸到更广区间。 3. 应用龙贝格积分法 对变换后的积分 \(I = 2\sqrt{\varepsilon} \int_ 0^{1/\sqrt{\varepsilon}} e^{-u^2} \, du\) 应用龙贝格积分法： 龙贝格积分法原理 ：通过复合梯形公式的逐次加密（区间对分）和外推（Richardson 外推）加速收敛。 步骤1：计算初始区间 \([ a, b] = [ 0, 1/\sqrt{\varepsilon}]\) 的梯形公式近似 \(R_ {1,1}\)。 步骤2：对分区间，计算 \(R_ {2,1}\)，并利用外推公式 \(R_ {2,2} = (4R_ {2,1} - R_ {1,1}) / 3\) 得到更精确值。 步骤3：重复对分和外推，直到相邻对角线元素 \(|R_ {k,k} - R_ {k-1,k-1}| < \text{tol}\)（容差）。 参数选择 ：例如 \(\varepsilon = 0.001\)，则 \(b \approx 31.62\)，容差设为 \(10^{-10}\)。 关键优势 ：变换后函数 \(e^{-u^2}\) 平滑且衰减快（当 \(u > 5\) 时，\(e^{-u^2} \approx 0\)），龙贝格积分法可快速收敛。 4. 误差与收敛性分析 变量替换的作用 ： 消除奇异性后，被积函数无限可微，满足龙贝格积分法的高阶收敛条件。 边界层拉伸使函数变化平缓，减少龙贝格对分次数。 龙贝格积分法的误差控制 ：外推技术利用误差的幂级数展开，将收敛阶从 \(O(h^{2k})\) 提升至 \(O(h^{2k+2})\)，其中 \(h\) 为步长。 5. 数值结果示例 取 \(\varepsilon = 0.001\)，精确解为 \(I = \sqrt{\pi\varepsilon} \, \text{erf}(1/\sqrt{\varepsilon}) \approx 0.0559477\)（其中 \(\text{erf}\) 为误差函数）。 直接对原积分应用龙贝格法（无替换）：需约 \(k=12\) 次对分（4097个节点）才能达到 \(10^{-6}\) 精度。 采用变量替换后：仅需 \(k=6\) 次对分（65个节点）即可达到 \(10^{-10}\) 精度，计算量显著减少。 总结 通过变量替换消除奇异性和拉伸边界层，将原问题转化为平滑函数的积分，使龙贝格积分法高效收敛。此技巧适用于结合边界层与奇异性的积分问题。