计算复积分：

 取其虚部得 $ I = \operatorname{Im}(J) = \frac{1}{2} $。  

 其中 $ x_i, w_i $ 为拉盖尔多项式的节点和权重。  

 新被积函数在 $ t \to 1 $ 时因 $ e^{-t/(1-t)} $ 而快速衰减，振荡被压缩在 $ t \approx 1 $ 附近，便于高斯-勒让德公式（适用于有限区间）计算。但需注意变换后函数的平滑性。

高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 计算半无穷区间积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(x) \, dx \] 该积分的被积函数 \( f(x) = e^{-x} \sin(x) \) 同时具有指数衰减（由 \( e^{-x} \) 主导）和振荡（由 \( \sin(x) \) 主导）特性。高斯-拉盖尔求积公式适用于权函数为 \( e^{-x} \) 的半无穷积分，但振荡特性会降低数值精度。本题要求通过正则化变换技巧，优化高斯-拉盖尔公式在此类积分中的应用。 解题过程 问题分析 高斯-拉盖尔求积公式的节点 \( x_ i \) 和权重 \( w_ i \) 由拉盖尔多项式生成，专门用于计算形如 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \) 的积分。 直接应用时，若 \( f(x) \) 振荡剧烈（如 \( \sin(x) \)），需大量节点才能捕捉振荡细节，效率低。 正则化变换的核心思想是通过变量替换，将被积函数转化为更平滑的形式，减少振荡对数值积分的影响。 正则化变换的构造 令 \( t = \phi(x) \)，使得新积分形式中振荡部分被部分吸收。对于 \( f(x) = e^{-x} \sin(x) \)，利用恒等式 \( \sin(x) = \operatorname{Im}(e^{ix}) \) 将积分改写为： \[ I = \operatorname{Im} \left( \int_ {0}^{\infty} e^{-(1-i)x} \, dx \right) \] 进一步作变量替换 \( t = (1-i)x \)，但此替换会引入复变量，不便于直接应用实数域的高斯-拉盖尔公式。因此采用 实部分离法 ： 定义辅助函数 \( g(x) = e^{-x} (1 - \cos(x)) \)，通过分部积分或复变换将振荡部分转化为衰减更快的函数。 具体变换步骤 考虑积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(x) \, dx = \operatorname{Im} \left( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} e^{ix} \, dx \right) \] 计算复积分： \[ J = \int_ {0}^{\infty} e^{-(1-i)x} \, dx = \left[ \frac{e^{-(1-i)x}}{-(1-i)} \right]_ {0}^{\infty} = \frac{1}{1-i} \] 取其虚部得 \( I = \operatorname{Im}(J) = \frac{1}{2} \)。 但上述解析解无法直接用于数值方法。数值实现时，需构造 实函数变换 ： 令 \( h(x) = e^{-x} (1 - e^{-x} \cos(x)) \)，通过调整权函数，将原积分拆分为两个衰减更快的积分。 实际计算中，常用变换 \( t = x^p \)（\( p > 0 \)）或 \( t = \ln(1+x) \) 来拉伸振荡区间，但需注意保持积分收敛性。 高斯-拉盖尔公式的直接应用与改进 直接应用 \( n \) 点高斯-拉盖尔公式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i \sin(x_ i) \] 其中 \( x_ i, w_ i \) 为拉盖尔多项式的节点和权重。 但 \( \sin(x) \) 在较大 \( x \) 处仍振荡，而高斯-拉盖尔节点在 \( x \) 较大时分布稀疏，导致误差较大。 改进策略 ： 引入正则化变换 \( t = \frac{x}{1+x} \)，将积分区间 \( [ 0, \infty) \) 映射到 \( [ 0, 1 ] \)： \[ I = \int_ {0}^{1} e^{-t/(1-t)} \sin\left( \frac{t}{1-t} \right) \frac{1}{(1-t)^2} \, dt \] 新被积函数在 \( t \to 1 \) 时因 \( e^{-t/(1-t)} \) 而快速衰减，振荡被压缩在 \( t \approx 1 \) 附近，便于高斯-勒让德公式（适用于有限区间）计算。但需注意变换后函数的平滑性。 数值实现与误差控制 若坚持用高斯-拉盖尔公式，可结合 区间分割法 ：将 \( [ 0, \infty) \) 分为 \( [ 0, a] \) 和 \( [ a, \infty) \)，其中 \( a \) 满足 \( e^{-a} \ll 1 \)。 在 \( [ 0, a] \) 使用高斯-勒让德公式（需变量缩放），在 \( [ a, \infty) \) 使用高斯-拉盖尔公式。 另一种方法是 振荡函数的特殊处理 ：将 \( \sin(x) \) 替换为其泰勒展开或使用 Filon 方法，但需调整以匹配指数权函数。 总结与对比 直接应用高斯-拉盖尔公式需较高阶数才能达到精度。 正则化变换通过调整积分变量或拆分区间，显著减少所需节点数。 实际应用中，需权衡变换的复杂性与精度提升，例如对于本题的简单被积函数，直接计算（已知解析解 \( I = 0.5 \)）或低阶变换即可；对于更复杂的振荡衰减函数，需结合具体振荡频率设计变换。 通过上述步骤，正则化变换技巧有效提升了高斯-拉盖尔公式在处理带振荡衰减函数积分中的计算效率与精度。