鸡蛋掉落问题

让我为您讲解一个经典的线性动态规划问题——鸡蛋掉落问题。

问题描述

假设有k个相同的鸡蛋和一栋n层高的建筑。你需要找出从哪层楼扔鸡蛋时，鸡蛋不会碎的最高楼层f（0 ≤ f ≤ n）。如果鸡蛋从某一层扔下没有碎，那么从比它低的楼层扔下也不会碎；如果鸡蛋碎了，那么从比它高的楼层扔下也会碎。

你的目标是确定f的值，并设计一个策略，使得在最坏情况下需要进行的扔鸡蛋次数最少。

问题分析

这个问题看似简单，但实际上需要权衡鸡蛋数量和测试次数。如果鸡蛋很多，我们可以用二分查找；如果鸡蛋很少，我们需要更保守的策略。

动态规划思路

状态定义

定义dp[k][n]表示有k个鸡蛋，面对n层楼时，在最坏情况下需要的最少测试次数。

状态转移方程

对于第i层（1 ≤ i ≤ n）进行测试：

• 如果鸡蛋碎了：那么我们需要在下面的i-1层中用k-1个鸡蛋继续测试 → dp[k-1][i-1]
• 如果鸡蛋没碎：那么我们需要在上面的n-i层中用k个鸡蛋继续测试 → dp[k][n-i]

最坏情况下，我们需要取两种情况的最大值，再加上当前的1次测试：
dp[k][n] = 1 + min(max(dp[k-1][i-1], dp[k][n-i]))，其中i从1到n

基础情况

• 当k=1时（只有一个鸡蛋）：只能从低到高逐层测试 → dp[1][n] = n
• 当n=0时：不需要测试 → dp[k][0] = 0
• 当n=1时：只需要测试一次 → dp[k][1] = 1

详细解题过程

步骤1：理解最坏情况下的最优策略

我们不是要找具体的f值，而是要找到一种测试策略，使得无论f实际是多少，我们需要的测试次数都最少。

步骤2：构建DP表格

我们用一个二维数组dp[k][n]来存储结果。

步骤3：填充DP表格

让我们以k=2个鸡蛋，n=10层楼为例：

初始化：

• dp[1][0] = 0, dp[1][1] = 1, dp[1][2] = 2, ..., dp[1][10] = 10
• dp[2][0] = 0, dp[2][1] = 1

计算dp[2][2]：

• 在第1层测试：max(dp[1][0], dp[2][1]) = max(0,1) = 1
• 在第2层测试：max(dp[1][1], dp[2][0]) = max(1,0) = 1
• dp[2][2] = 1 + min(1,1) = 2

计算dp[2][3]：

• 第1层：max(dp[1][0], dp[2][2]) = max(0,2) = 2
• 第2层：max(dp[1][1], dp[2][1]) = max(1,1) = 1
• 第3层：max(dp[1][2], dp[2][0]) = max(2,0) = 2
• dp[2][3] = 1 + min(2,1,2) = 2

继续这个过程，最终得到dp[2][10] = 4。

步骤4：算法实现

def superEggDrop(k, n):
    # dp[k][n] 表示k个鸡蛋，n层楼需要的最少测试次数
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(k + 1)]
    
    # 初始化基础情况
    for i in range(1, n + 1):
        dp[1][i] = i  # 只有一个鸡蛋时，需要逐层测试
    
    for i in range(1, k + 1):
        dp[i][1] = 1  # 只有一层楼时，只需要测试一次
    
    # 填充DP表格
    for i in range(2, k + 1):  # 鸡蛋数量从2到k
        for j in range(2, n + 1):  # 楼层数量从2到n
            dp[i][j] = float('inf')
            # 尝试在每一层扔鸡蛋
            for x in range(1, j + 1):
                # 最坏情况下的测试次数
                result = 1 + max(dp[i-1][x-1], dp[i][j-x])
                dp[i][j] = min(dp[i][j], result)
    
    return dp[k][n]

步骤5：优化方案

上面的解法时间复杂度为O(k×n²)，对于较大的n可能较慢。我们可以使用二分搜索优化：

def superEggDrop_optimized(k, n):
    # dp[m][k] 表示用k个鸡蛋测试m次，最多能确定多少层楼
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    m = 0
    while dp[m][k] < n:
        m += 1
        for i in range(1, k + 1):
            # 状态转移：鸡蛋碎了 + 鸡蛋没碎 + 当前测试的1层
            dp[m][i] = dp[m-1][i-1] + dp[m-1][i] + 1
    
    return m

示例验证

以k=2, n=10为例：

• 第一次测试：从第4层扔
  • 如果碎了，用剩下的1个鸡蛋测试1-3层（最多3次）
  • 如果没碎，用2个鸡蛋测试5-10层（6层，需要3次）
• 最坏情况需要4次测试

这个经典的动态规划问题很好地展示了如何通过状态定义和状态转移来解决复杂的最优化问题。