非线性规划中的原始对偶内点法进阶题
字数 1499 2025-11-17 13:02:57

非线性规划中的原始对偶内点法进阶题

题目描述：考虑非线性规划问题：
min f(x)
s.t. c_i(x) = 0, i ∈ E
c_i(x) ≥ 0, i ∈ I
其中f(x)和c_i(x)是二次连续可微函数。请使用原始对偶内点法求解该问题，详细解释算法的核心思想和计算步骤。

解题过程：

  1. 问题重构与障碍函数引入
    原始对偶内点法的核心思想是将不等式约束通过障碍函数转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为等式约束问题。对于不等式约束c_i(x) ≥ 0，我们引入对数障碍函数：
    φ(x) = -∑_{i∈I} ln(c_i(x))

新的目标函数为：
min f(x) - μ∑_{i∈I} ln(c_i(x))
s.t. c_i(x) = 0, i ∈ E
其中μ > 0是障碍参数，控制障碍函数的影响程度。

  1. 拉格朗日函数构造
    定义增广拉格朗日函数：
    L(x, λ, s) = f(x) - μ∑{i∈I} ln(s_i) + ∑{i∈E} λ_i c_i(x) + ∑_{i∈I} λ_i (c_i(x) - s_i)
    这里s_i > 0是松弛变量，将不等式约束c_i(x) ≥ 0转化为等式约束c_i(x) - s_i = 0。

  2. 最优性条件（KKT条件）
    对拉格朗日函数求偏导，得到最优性条件：
    ∇f(x) + ∑{i∈E} λ_i ∇c_i(x) + ∑{i∈I} λ_i ∇c_i(x) = 0
    c_i(x) = 0, i ∈ E
    c_i(x) - s_i = 0, i ∈ I
    λ_i s_i = μ, i ∈ I
    s_i > 0, λ_i > 0, i ∈ I

  3. 牛顿方向计算
    将最优性条件线性化，得到牛顿系统：
    [ H A_E^T A_I^T 0 ] [ Δx ] = - [ ∇f(x) + A_E^T λ_E + A_I^T λ_I ]
    [ A_E 0 0 0 ] [ Δλ_E] - [ c_E(x) ]
    [ A_I 0 0 I ] [ Δλ_I] - [ c_I(x) - s ]
    [ 0 0 S Λ ] [ Δs ] - [ ΛSe - μe ]
    其中H是拉格朗日函数的Hessian矩阵，A_E和A_I是等式和不等式约束的Jacobian矩阵，S = diag(s)，Λ = diag(λ)。

  4. 步长选择与迭代更新
    为保证s_i > 0和λ_i > 0，采用保守步长策略：
    α = min(1, 0.995 × min{ -s_i/Δs_i | Δs_i < 0 }, 0.995 × min{ -λ_i/Δλ_i | Δλ_i < 0 })

迭代更新：
x_{k+1} = x_k + αΔx
λ_{k+1} = λ_k + αΔλ
s_{k+1} = s_k + αΔs

  1. 障碍参数更新与收敛判断
    每次迭代后更新障碍参数：
    μ_{k+1} = σ × (λ^T s)/m
    其中σ ∈ (0,1)是中心参数，m是不等式约束个数。

收敛条件：
||∇f(x) + A_E^T λ_E + A_I^T λ_I|| ≤ ε
||c_E(x)|| ≤ ε
||c_I(x) - s|| ≤ ε
|λ^T s| ≤ ε

这个算法通过障碍函数保持内点性，利用牛顿法快速收敛，是求解中等规模非线性规划问题的有效方法。

非线性规划中的原始对偶内点法进阶题 题目描述：考虑非线性规划问题： min f(x) s.t. c_ i(x) = 0, i ∈ E c_ i(x) ≥ 0, i ∈ I 其中f(x)和c_ i(x)是二次连续可微函数。请使用原始对偶内点法求解该问题，详细解释算法的核心思想和计算步骤。 解题过程： 问题重构与障碍函数引入 原始对偶内点法的核心思想是将不等式约束通过障碍函数转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为等式约束问题。对于不等式约束c_ i(x) ≥ 0，我们引入对数障碍函数： φ(x) = -∑_ {i∈I} ln(c_ i(x)) 新的目标函数为： min f(x) - μ∑_ {i∈I} ln(c_ i(x)) s.t. c_ i(x) = 0, i ∈ E 其中μ > 0是障碍参数，控制障碍函数的影响程度。 拉格朗日函数构造 定义增广拉格朗日函数： L(x, λ, s) = f(x) - μ∑ {i∈I} ln(s_ i) + ∑ {i∈E} λ_ i c_ i(x) + ∑_ {i∈I} λ_ i (c_ i(x) - s_ i) 这里s_ i > 0是松弛变量，将不等式约束c_ i(x) ≥ 0转化为等式约束c_ i(x) - s_ i = 0。 最优性条件（KKT条件） 对拉格朗日函数求偏导，得到最优性条件： ∇f(x) + ∑ {i∈E} λ_ i ∇c_ i(x) + ∑ {i∈I} λ_ i ∇c_ i(x) = 0 c_ i(x) = 0, i ∈ E c_ i(x) - s_ i = 0, i ∈ I λ_ i s_ i = μ, i ∈ I s_ i > 0, λ_ i > 0, i ∈ I 牛顿方向计算 将最优性条件线性化，得到牛顿系统： [ H A_ E^T A_ I^T 0 ] [ Δx ] = - [ ∇f(x) + A_ E^T λ_ E + A_ I^T λ_ I ] [ A_ E 0 0 0 ] [ Δλ_ E] - [ c_ E(x) ] [ A_ I 0 0 I ] [ Δλ_ I] - [ c_ I(x) - s ] [ 0 0 S Λ ] [ Δs ] - [ ΛSe - μe ] 其中H是拉格朗日函数的Hessian矩阵，A_ E和A_ I是等式和不等式约束的Jacobian矩阵，S = diag(s)，Λ = diag(λ)。 步长选择与迭代更新 为保证s_ i > 0和λ_ i > 0，采用保守步长策略： α = min(1, 0.995 × min{ -s_ i/Δs_ i | Δs_ i < 0 }, 0.995 × min{ -λ_ i/Δλ_ i | Δλ_ i < 0 }) 迭代更新： x_ {k+1} = x_ k + αΔx λ_ {k+1} = λ_ k + αΔλ s_ {k+1} = s_ k + αΔs 障碍参数更新与收敛判断 每次迭代后更新障碍参数： μ_ {k+1} = σ × (λ^T s)/m 其中σ ∈ (0,1)是中心参数，m是不等式约束个数。 收敛条件： ||∇f(x) + A_ E^T λ_ E + A_ I^T λ_ I|| ≤ ε ||c_ E(x)|| ≤ ε ||c_ I(x) - s|| ≤ ε |λ^T s| ≤ ε 这个算法通过障碍函数保持内点性，利用牛顿法快速收敛，是求解中等规模非线性规划问题的有效方法。