非线性规划中的外推内点法基础题 我将为您讲解非线性规划中的外推内点法。这是一个结合了内点法和外推技术的优化算法，能够有效处理约束优化问题。 问题描述 考虑以下非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 这是一个具有非线性目标函数和非线性不等式约束的优化问题。我们需要找到满足所有约束条件的点x* ，使目标函数f(x)取得最小值。 解题过程 步骤1：理解外推内点法的基本思想 外推内点法的核心思想是： 使用内点法，通过障碍函数将约束问题转化为无约束问题 在迭代过程中，利用外推技术预测下一个较好的迭代点 结合预测和校正步骤，加速收敛 步骤2：构造障碍函数 对于不等式约束gᵢ(x) ≤ 0，我们定义对数障碍函数： B(x, μ) = f(x) - μ∑ln(-gᵢ(x)) 其中μ > 0是障碍参数。当μ→0时，B(x, μ)的解趋近于原问题的解。 对于我们的问题： B(x, μ) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² - μ[ ln(-(x₁² - x₂)) + ln(x₁) + ln(x₂) ] 步骤3：计算障碍函数的梯度和Hessian矩阵 梯度∇B(x, μ) = [ ∂B/∂x₁, ∂B/∂x₂ ]ᵀ，其中： ∂B/∂x₁ = 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂) + μ[ 2x₁/(x₁² - x₂) - 1/x₁ ] ∂B/∂x₂ = -4(x₁ - 2x₂) + μ[ 1/(x₁² - x₂) - 1/x₂ ] Hessian矩阵H(x, μ)包含二阶偏导数，用于牛顿方向的计算。 步骤4：外推内点法算法框架 算法步骤如下： 初始化：选择初始点x⁰在可行域内部，初始障碍参数μ⁰ > 0，参数σ ∈ (0,1)，容差ε > 0 对于k = 0, 1, 2, ...直到收敛： a. 预测步：基于当前点xᵏ和障碍参数μᵏ，计算预测方向 b. 外推：利用历史信息预测下一个较好的迭代点 c. 校正步：确保新点在可行域内且满足收敛条件 d. 更新障碍参数：μᵏ⁺¹ = σμᵏ e. 检查收敛条件：如果μᵏ⁺¹ < ε且‖∇B(xᵏ⁺¹, μᵏ⁺¹)‖ < ε，则停止 步骤5：详细算法实现 让我们详细展开算法的每个步骤： 步骤5.1：预测步计算 使用牛顿法计算搜索方向： dᵏ = -[ H(xᵏ, μᵏ) ]⁻¹∇B(xᵏ, μᵏ) 其中H是Hessian矩阵。这个方向指向障碍函数下降最快的方向。 步骤5.2：外推技术 利用前几步的迭代信息进行外推： x_ pred = xᵏ + αdᵏ + β(xᵏ - xᵏ⁻¹) 其中α是步长，β是外推参数，通过线性或二次外推公式确定。 步骤5.3：可行性和收敛性保证 通过线搜索确保新点满足约束条件：gᵢ(x) < 0 使用Armijo条件或Wolfe条件确定合适的步长 监控对偶间隙和KKT残差来评估收敛性 步骤6：数值示例 让我们用具体数值演示前几步迭代： 初始点：x⁰ = [ 1, 1 ]ᵀ（在可行域内） 初始障碍参数：μ⁰ = 1.0 参数：σ = 0.5 迭代1： 在x⁰ = [ 1,1 ]处： g₁(x) = 1² - 1 = 0（在边界上，需调整） 调整初始点为x⁰ = [ 0.8, 0.9 ] 计算障碍函数值： B(x⁰, μ⁰) = (0.8-2)⁴ + (0.8-1.8)² - 1×[ ln(-(0.64-0.9)) + ln(0.8) + ln(0.9) ] ≈ 2.0736 + 1 - [ ln(0.26) -0.2231 -0.1054] ≈ 3.0736 - [ -1.3471 -0.3285 ] ≈ 4.7492 计算梯度，确定牛顿方向，进行线搜索找到新点x¹ 迭代2： 更新障碍参数：μ¹ = 0.5 在x¹处重复上述过程，结合外推技术加速收敛 步骤7：收敛性分析 外推内点法具有以下收敛性质： 全局收敛：在适当条件下，算法收敛到局部最优解 超线性收敛：外推技术可以加速收敛速度 对偶间隙：μᵏ提供了对最优性间隙的估计 步骤8：算法优势和应用 外推内点法的优势： 处理不等式约束自然有效 外推技术加速收敛 数值稳定性好 适用于大规模问题 这种方法特别适用于具有复杂不等式约束的非线性规划问题，在工程优化、经济建模和机器学习中有广泛应用。