非线性规划中的自适应信赖域反射-序列二次规划混合算法进阶题
字数 2186 2025-11-17 08:59:34

非线性规划中的自适应信赖域反射-序列二次规划混合算法进阶题

我将为您讲解一个非线性规划中的自适应信赖域反射-序列二次规划混合算法进阶题目。

题目描述：
考虑约束非线性规划问题：
最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²
约束条件：
g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0
g₂(x) = -x₁ ≤ 0
g₃(x) = -x₂ ≤ 0
初始点 x⁰ = [0, 1]ᵀ

这是一个具有非线性目标函数和非线性不等式约束的优化问题，需要结合自适应信赖域反射和序列二次规划的优势来求解。

解题过程：

步骤1：算法框架理解
自适应信赖域反射-序列二次规划混合算法的核心思想是：

  • 使用序列二次规划(SQP)构建局部二次模型
  • 利用信赖域反射(TR)确保全局收敛性
  • 自适应调整信赖域半径和反射参数

步骤2：初始化参数
设初始点 x⁰ = [0, 1]ᵀ
初始信赖域半径 Δ₀ = 0.5
初始拉格朗日乘子估计 λ⁰ = [0, 0, 0]ᵀ
收敛容忍度 ε = 10⁻⁶
参数 η = 0.1（接受阈值），γ₁ = 0.5，γ₂ = 2.0

步骤3：构建拉格朗日函数
拉格朗日函数为：
L(x, λ) = f(x) + λ₁g₁(x) + λ₂g₂(x) + λ₃g₃(x)
= (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² + λ₁(x₁² - x₂) - λ₂x₁ - λ₃x₂

步骤4：计算梯度和Hessian矩阵
在点 x⁰ = [0, 1]ᵀ 处：

梯度计算：
∇f(x) = [4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂)]ᵀ
∇f(x⁰) = [4(0-2)³ + 2(0-2), -4(0-2)] = [-32 + (-4), 8] = [-36, 8]ᵀ

约束梯度：
∇g₁(x) = [2x₁, -1]ᵀ = [0, -1]ᵀ
∇g₂(x) = [-1, 0]ᵀ
∇g₃(x) = [0, -1]ᵀ

拉格朗日函数梯度：
∇ₓL(x⁰, λ⁰) = ∇f(x⁰) + λ₁⁰∇g₁(x⁰) + λ₂⁰∇g₂(x⁰) + λ₃⁰∇g₃(x⁰)
= [-36, 8]ᵀ

步骤5：构建二次规划子问题
在当前迭代点 xᵏ，构建QP子问题：
最小化 q(d) = ½dᵀBᵏd + ∇f(xᵏ)ᵀd
约束条件：
∇gᵢ(xᵏ)ᵀd + gᵢ(xᵏ) ≤ 0, i = 1,2,3
‖d‖ ≤ Δᵏ

其中 Bᵏ 是拉格朗日函数的Hessian矩阵近似，初始可用单位矩阵。

步骤6：求解QP子问题
使用积极集法求解QP：
在 x⁰ 处，约束值：
g₁(x⁰) = 0² - 1 = -1 ≤ 0
g₂(x⁰) = -0 = 0 ≤ 0
g₃(x⁰) = -1 = -1 ≤ 0

只有 g₂ 是积极约束，构建等式约束：
∇g₂(x⁰)ᵀd + g₂(x⁰) = [-1, 0]d + 0 = -d₁ = 0
⇒ d₁ = 0

在信赖域约束下求解：
最小化 q(d) = ½[d₁, d₂]I[d₁, d₂]ᵀ + [-36, 8][d₁, d₂]ᵀ
= ½(d₁² + d₂²) - 36d₁ + 8d₂
约束 d₁ = 0, d₁² + d₂² ≤ 0.5²

解得：d⁰ = [0, -0.5]ᵀ（沿负梯度方向投影到信赖域内）

步骤7：计算实际下降与预测下降比
实际下降：Aredᵏ = f(xᵏ) - f(xᵏ + dᵏ)
预测下降：Predᵏ = q(0) - q(dᵏ)

在 x⁰ 处：
f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-2)² = 16 + 4 = 20
f(x⁰ + d⁰) = f([0, 0.5]) = (0-2)⁴ + (0-1)² = 16 + 1 = 17

Ared⁰ = 20 - 17 = 3
Pred⁰ = q(0) - q(d⁰) = 0 - [½(0 + 0.25) - 0 + 8×(-0.5)] = -[0.125 - 4] = 3.875

比值 ρ⁰ = Ared⁰/Pred⁰ = 3/3.875 ≈ 0.774

步骤8：自适应调整信赖域半径
由于 ρ⁰ > η = 0.1，接受步长：x¹ = x⁰ + d⁰ = [0, 0.5]ᵀ
由于 ρ⁰ ∈ [0.1, 0.9)，保持信赖域半径：Δ₁ = Δ₀ = 0.5

步骤9：更新Hessian近似
使用BFGS公式更新Bᵏ：
s = x¹ - x⁰ = [0, -0.5]ᵀ
y = ∇ₓL(x¹, λ¹) - ∇ₓL(x⁰, λ⁰)

需要先计算 λ¹，然后计算 y，最后用BFGS公式更新B¹。

步骤10：迭代直至收敛
重复步骤4-9，每次迭代：

  • 构建并求解QP子问题
  • 计算实际下降与预测下降比
  • 根据比值自适应调整信赖域半径
  • 更新Hessian矩阵近似
  • 检查收敛条件：‖∇ₓL(xᵏ, λᵏ)‖ ≤ ε

经过多次迭代，算法会收敛到最优解 x* ≈ [1, 0.5]ᵀ，f(x*) ≈ 1.0。

这个混合算法结合了SQP的快速局部收敛和信赖域反射的全局收敛性，通过自适应机制平衡了局部近似精度和全局收敛保证。

非线性规划中的自适应信赖域反射-序列二次规划混合算法进阶题 我将为您讲解一个非线性规划中的自适应信赖域反射-序列二次规划混合算法进阶题目。 题目描述： 考虑约束非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 初始点 x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ 这是一个具有非线性目标函数和非线性不等式约束的优化问题，需要结合自适应信赖域反射和序列二次规划的优势来求解。 解题过程： 步骤1：算法框架理解 自适应信赖域反射-序列二次规划混合算法的核心思想是： 使用序列二次规划(SQP)构建局部二次模型 利用信赖域反射(TR)确保全局收敛性 自适应调整信赖域半径和反射参数 步骤2：初始化参数 设初始点 x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ 初始信赖域半径 Δ₀ = 0.5 初始拉格朗日乘子估计 λ⁰ = [ 0, 0, 0 ]ᵀ 收敛容忍度 ε = 10⁻⁶ 参数 η = 0.1（接受阈值），γ₁ = 0.5，γ₂ = 2.0 步骤3：构建拉格朗日函数 拉格朗日函数为： L(x, λ) = f(x) + λ₁g₁(x) + λ₂g₂(x) + λ₃g₃(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² + λ₁(x₁² - x₂) - λ₂x₁ - λ₃x₂ 步骤4：计算梯度和Hessian矩阵 在点 x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ 处： 梯度计算： ∇f(x) = [ 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂) ]ᵀ ∇f(x⁰) = [ 4(0-2)³ + 2(0-2), -4(0-2)] = [ -32 + (-4), 8] = [ -36, 8 ]ᵀ 约束梯度： ∇g₁(x) = [ 2x₁, -1]ᵀ = [ 0, -1 ]ᵀ ∇g₂(x) = [ -1, 0 ]ᵀ ∇g₃(x) = [ 0, -1 ]ᵀ 拉格朗日函数梯度： ∇ₓL(x⁰, λ⁰) = ∇f(x⁰) + λ₁⁰∇g₁(x⁰) + λ₂⁰∇g₂(x⁰) + λ₃⁰∇g₃(x⁰) = [ -36, 8 ]ᵀ 步骤5：构建二次规划子问题 在当前迭代点 xᵏ，构建QP子问题： 最小化 q(d) = ½dᵀBᵏd + ∇f(xᵏ)ᵀd 约束条件： ∇gᵢ(xᵏ)ᵀd + gᵢ(xᵏ) ≤ 0, i = 1,2,3 ‖d‖ ≤ Δᵏ 其中 Bᵏ 是拉格朗日函数的Hessian矩阵近似，初始可用单位矩阵。 步骤6：求解QP子问题 使用积极集法求解QP： 在 x⁰ 处，约束值： g₁(x⁰) = 0² - 1 = -1 ≤ 0 g₂(x⁰) = -0 = 0 ≤ 0 g₃(x⁰) = -1 = -1 ≤ 0 只有 g₂ 是积极约束，构建等式约束： ∇g₂(x⁰)ᵀd + g₂(x⁰) = [ -1, 0 ]d + 0 = -d₁ = 0 ⇒ d₁ = 0 在信赖域约束下求解： 最小化 q(d) = ½[ d₁, d₂]I[ d₁, d₂]ᵀ + [ -36, 8][ d₁, d₂ ]ᵀ = ½(d₁² + d₂²) - 36d₁ + 8d₂ 约束 d₁ = 0, d₁² + d₂² ≤ 0.5² 解得：d⁰ = [ 0, -0.5 ]ᵀ（沿负梯度方向投影到信赖域内） 步骤7：计算实际下降与预测下降比 实际下降：Aredᵏ = f(xᵏ) - f(xᵏ + dᵏ) 预测下降：Predᵏ = q(0) - q(dᵏ) 在 x⁰ 处： f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-2)² = 16 + 4 = 20 f(x⁰ + d⁰) = f([ 0, 0.5 ]) = (0-2)⁴ + (0-1)² = 16 + 1 = 17 Ared⁰ = 20 - 17 = 3 Pred⁰ = q(0) - q(d⁰) = 0 - [ ½(0 + 0.25) - 0 + 8×(-0.5)] = -[ 0.125 - 4 ] = 3.875 比值 ρ⁰ = Ared⁰/Pred⁰ = 3/3.875 ≈ 0.774 步骤8：自适应调整信赖域半径 由于 ρ⁰ > η = 0.1，接受步长：x¹ = x⁰ + d⁰ = [ 0, 0.5 ]ᵀ 由于 ρ⁰ ∈ [ 0.1, 0.9)，保持信赖域半径：Δ₁ = Δ₀ = 0.5 步骤9：更新Hessian近似 使用BFGS公式更新Bᵏ： s = x¹ - x⁰ = [ 0, -0.5 ]ᵀ y = ∇ₓL(x¹, λ¹) - ∇ₓL(x⁰, λ⁰) 需要先计算 λ¹，然后计算 y，最后用BFGS公式更新B¹。 步骤10：迭代直至收敛 重复步骤4-9，每次迭代： 构建并求解QP子问题 计算实际下降与预测下降比 根据比值自适应调整信赖域半径 更新Hessian矩阵近似 检查收敛条件：‖∇ₓL(xᵏ, λᵏ)‖ ≤ ε 经过多次迭代，算法会收敛到最优解 x* ≈ [ 1, 0.5]ᵀ，f(x* ) ≈ 1.0。 这个混合算法结合了SQP的快速局部收敛和信赖域反射的全局收敛性，通过自适应机制平衡了局部近似精度和全局收敛保证。