高斯-勒让德求积公式在带峰值函数积分中的权函数匹配技巧
字数 2505 2025-11-17 08:22:24

高斯-勒让德求积公式在带峰值函数积分中的权函数匹配技巧

题目描述
计算定积分：

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos(5x)}{(x - 0.3)^2 + 0.01} dx \) 该被积函数在 $x = 0.3$ 附近有一个尖锐的峰值（由分母中的小参数 $0.01$ 导致），且存在高频振荡（由 $\cos(5x)$ 引起）。直接应用高斯-勒让德求积公式需要大量节点才能捕捉峰值特征，效率低下。需通过**权函数匹配技巧**优化计算。 --- **解题过程** **1. 问题分析** - **峰值特性**：分母 $(x - 0.3)^2 + 0.01$ 在 $x=0.3$ 处产生高幅值，峰宽约 $0.2$（由参数 $0.01$ 控制）。 - **振荡特性**：$\cos(5x)$ 的周期为 $2\pi/5 \approx 1.26$，在 $[-1,1]$ 区间内约振荡 $1.6$ 次。 - **挑战**：标准高斯-勒让德公式在峰值处需密集节点，但节点位置固定，可能错过峰值。 **2. 权函数匹配的核心思想** 构造一个与被积函数峰值部分相似的**权函数** $w(x)$，将原积分改写为： \[ I = \int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{w(x)} \cdot w(x) dx \]

通过选择 \(w(x)\) 匹配峰值，使比值 \(f(x)/w(x)\) 更平滑，从而用更少的高斯节点达到精度。

3. 权函数的选择

  • 峰值部分建模：峰值类似柯西分布，选权函数 \(w(x) = \frac{1}{(x - 0.3)^2 + 0.01}\)。
  • 验证匹配效果：
    原被积函数 \(f(x) = \frac{\cos(5x)}{(x - 0.3)^2 + 0.01}\)，
    则 \(g(x) = \frac{f(x)}{w(x)} = \cos(5x)\)。
    \(g(x)\) 仅为振荡函数，无峰值，更容易用多项式逼近。

4. 应用高斯-勒让德公式的修正形式
标准公式为：

\[\int_{-1}^{1} h(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i h(x_i) \]

其中 \(x_i\) 和 \(w_i\) 是 \(n\) 阶勒让德多项式的节点和权重。
将 \(h(x) = \frac{f(x)}{w(x)} \cdot w(x)\) 代入，但需处理 \(w(x)\) 不满足高斯权重要求的问题：

  • 高斯-勒让德公式默认权函数为 \(1\)，此处需显式处理 \(w(x)\)：

\[I \approx \sum_{i=1}^n w_i \cdot \frac{f(x_i)}{w(x_i)} \cdot w(x_i) = \sum_{i=1}^n w_i \cdot f(x_i) \]

此式与标准公式相同，未利用权函数！
修正：将积分视为以 \(w(x)\) 为权的高斯积分，但 \(w(x)\) 非标准权函数，需通过变量替换实现匹配。

5. 变量替换与权函数归一化

  • 令 \(t = \arctan\left(\frac{x - 0.3}{0.1}\right)\)，则 \(x = 0.3 + 0.1 \tan t\)，
    微分 \(dx = 0.1 \sec^2 t dt\)。
  • 积分变换：

\[ I = \int_{t_a}^{t_b} \frac{\cos(5(0.3 + 0.1 \tan t))}{0.01 \tan^2 t + 0.01} \cdot 0.1 \sec^2 t dt \]

化简分母：\(0.01(\tan^2 t + 1) = 0.01 \sec^2 t\)，
得：

\[ I = \int_{t_a}^{t_b} \cos(5(0.3 + 0.1 \tan t)) \cdot 10 dt \]

其中 \(t_a = \arctan(-13)， t_b = \arctan(7)\)。

  • 效果：消除分母峰值，被积函数变为 \(\cos(5(0.3 + 0.1 \tan t))\)，仅含振荡。

6. 应用高斯-勒让德公式

  • 将 \(t\) 区间线性映射到 \([-1,1]\)：
    设 \(u = \frac{2t - (t_a + t_b)}{t_b - t_a}\)，则：

\[ I = \frac{t_b - t_a}{2} \int_{-1}^{1} 10 \cos\left(5\left(0.3 + 0.1 \tan\left( \frac{(t_b - t_a)u + (t_a + t_b)}{2} \right)\right)\right) du \]

  • 用 \(n\) 阶高斯-勒让德公式计算：

\[ I \approx \frac{10(t_b - t_a)}{2} \sum_{i=1}^n w_i \cos\left(5\left(0.3 + 0.1 \tan\left( \frac{(t_b - t_a)u_i + (t_a + t_b)}{2} \right)\right)\right) \]

其中 \(u_i, w_i\) 为标准高斯-勒让德节点和权重。

7. 节点数选择与误差控制

  • 振荡部分 \(\cos(5x)\) 需每半周期至少 2 个节点，区间 \(t \in [t_a, t_b]\) 长度约 \(3.0\)，振荡约 \(2.4\) 次，建议 \(n \geq 16\)。
  • 误差来源：
    • 高斯公式的截断误差（由多项式逼近精度决定）。
    • 变量替换的精度（此处为精确变换，无误差）。
  • 可通过增加 \(n\) 或分段策略进一步提高精度。

总结
通过权函数匹配与变量替换，将带峰值的振荡函数积分转化为平滑振荡函数的积分，显著减少所需高斯节点数，提高计算效率。此方法适用于峰值位置已知的积分问题。

高斯-勒让德求积公式在带峰值函数积分中的权函数匹配技巧 题目描述 计算定积分： \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos(5x)}{(x - 0.3)^2 + 0.01} dx \) 该被积函数在 \(x = 0.3\) 附近有一个尖锐的峰值（由分母中的小参数 \(0.01\) 导致），且存在高频振荡（由 \(\cos(5x)\) 引起）。直接应用高斯-勒让德求积公式需要大量节点才能捕捉峰值特征，效率低下。需通过 权函数匹配技巧 优化计算。 解题过程 1. 问题分析 峰值特性 ：分母 \((x - 0.3)^2 + 0.01\) 在 \(x=0.3\) 处产生高幅值，峰宽约 \(0.2\)（由参数 \(0.01\) 控制）。 振荡特性 ：\(\cos(5x)\) 的周期为 \(2\pi/5 \approx 1.26\)，在 \([ -1,1 ]\) 区间内约振荡 \(1.6\) 次。 挑战 ：标准高斯-勒让德公式在峰值处需密集节点，但节点位置固定，可能错过峰值。 2. 权函数匹配的核心思想 构造一个与被积函数峰值部分相似的 权函数 \(w(x)\)，将原积分改写为： \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) dx = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{w(x)} \cdot w(x) dx \] 通过选择 \(w(x)\) 匹配峰值，使比值 \(f(x)/w(x)\) 更平滑，从而用更少的高斯节点达到精度。 3. 权函数的选择 峰值部分建模 ：峰值类似柯西分布，选权函数 \(w(x) = \frac{1}{(x - 0.3)^2 + 0.01}\)。 验证匹配效果 ： 原被积函数 \(f(x) = \frac{\cos(5x)}{(x - 0.3)^2 + 0.01}\)， 则 \(g(x) = \frac{f(x)}{w(x)} = \cos(5x)\)。 \(g(x)\) 仅为振荡函数，无峰值，更容易用多项式逼近。 4. 应用高斯-勒让德公式的修正形式 标准公式为： \[ \int_ {-1}^{1} h(x) dx \approx \sum_ {i=1}^n w_ i h(x_ i) \] 其中 \(x_ i\) 和 \(w_ i\) 是 \(n\) 阶勒让德多项式的节点和权重。 将 \(h(x) = \frac{f(x)}{w(x)} \cdot w(x)\) 代入，但需处理 \(w(x)\) 不满足高斯权重要求的问题： 高斯-勒让德公式默认权函数为 \(1\)，此处需显式处理 \(w(x)\)： \[ I \approx \sum_ {i=1}^n w_ i \cdot \frac{f(x_ i)}{w(x_ i)} \cdot w(x_ i) = \sum_ {i=1}^n w_ i \cdot f(x_ i) \] 此式与标准公式相同， 未利用权函数 ！ 修正 ：将积分视为以 \(w(x)\) 为权的高斯积分，但 \(w(x)\) 非标准权函数，需通过 变量替换 实现匹配。 5. 变量替换与权函数归一化 令 \(t = \arctan\left(\frac{x - 0.3}{0.1}\right)\)，则 \(x = 0.3 + 0.1 \tan t\)， 微分 \(dx = 0.1 \sec^2 t dt\)。 积分变换 ： \[ I = \int_ {t_ a}^{t_ b} \frac{\cos(5(0.3 + 0.1 \tan t))}{0.01 \tan^2 t + 0.01} \cdot 0.1 \sec^2 t dt \] 化简分母：\(0.01(\tan^2 t + 1) = 0.01 \sec^2 t\)， 得： \[ I = \int_ {t_ a}^{t_ b} \cos(5(0.3 + 0.1 \tan t)) \cdot 10 dt \] 其中 \(t_ a = \arctan(-13)， t_ b = \arctan(7)\)。 效果 ：消除分母峰值，被积函数变为 \(\cos(5(0.3 + 0.1 \tan t))\)，仅含振荡。 6. 应用高斯-勒让德公式 将 \(t\) 区间线性映射到 \([ -1,1 ]\)： 设 \(u = \frac{2t - (t_ a + t_ b)}{t_ b - t_ a}\)，则： \[ I = \frac{t_ b - t_ a}{2} \int_ {-1}^{1} 10 \cos\left(5\left(0.3 + 0.1 \tan\left( \frac{(t_ b - t_ a)u + (t_ a + t_ b)}{2} \right)\right)\right) du \] 用 \(n\) 阶高斯-勒让德公式计算： \[ I \approx \frac{10(t_ b - t_ a)}{2} \sum_ {i=1}^n w_ i \cos\left(5\left(0.3 + 0.1 \tan\left( \frac{(t_ b - t_ a)u_ i + (t_ a + t_ b)}{2} \right)\right)\right) \] 其中 \(u_ i, w_ i\) 为标准高斯-勒让德节点和权重。 7. 节点数选择与误差控制 振荡部分 \(\cos(5x)\) 需每半周期至少 2 个节点，区间 \(t \in [ t_ a, t_ b ]\) 长度约 \(3.0\)，振荡约 \(2.4\) 次，建议 \(n \geq 16\)。 误差来源 ： 高斯公式的截断误差（由多项式逼近精度决定）。 变量替换的精度（此处为精确变换，无误差）。 可通过增加 \(n\) 或分段策略进一步提高精度。 总结 通过权函数匹配与变量替换，将带峰值的振荡函数积分转化为平滑振荡函数的积分，显著减少所需高斯节点数，提高计算效率。此方法适用于峰值位置已知的积分问题。