龙贝格积分法在带奇异点函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ 0^1 \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} \, dx \] 被积函数在 \(x = 0\) 处具有 \(1/\sqrt{x}\) 的奇异性，直接应用数值积分方法（如龙贝格法）会因奇异性导致收敛缓慢或精度损失。需要结合正则化变换处理奇异性后，再用龙贝格法计算。 解题过程 1. 问题分析与正则化变换 被积函数 \(f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}}\) 在 \(x=0\) 处不可导，且趋于无穷大。直接数值积分时，子区间靠近奇点的部分会引入较大误差。 正则化变换思路 ：通过变量替换 \(x = t^2\)，使得新被积函数在 \(t=0\) 处光滑。 令 \(x = t^2\)，则 \(dx = 2t \, dt\)，积分区间变为 \(t \in [ 0, 1 ]\)： \[ I = \int_ 0^1 \frac{\cos(t^2)}{\sqrt{t^2}} \cdot 2t \, dt = \int_ 0^1 2\cos(t^2) \, dt. \] 新被积函数 \(g(t) = 2\cos(t^2)\) 在 \(t \in [ 0, 1 ]\) 上无限可微，消除了原奇异性。 2. 龙贝格积分法原理 龙贝格积分法通过复合梯形公式的Richardson外推加速收敛： 计算初始梯形公式近似 \(R_ {1,1}\)。 通过区间逐次减半和递推公式生成 \(R_ {k,1}\)（梯形序列）。 利用外推公式 \(R_ {k,m} = \frac{4^{m-1} R_ {k,m-1} - R_ {k-1,m-1}}{4^{m-1} - 1}\) 提高精度，其中 \(R_ {k,m}\) 是 \(m\) 次外推后的结果。 3. 应用龙贝格法计算变换后的积分 对 \(g(t) = 2\cos(t^2)\) 在 \([ 0, 1 ]\) 上应用龙贝格法： 步骤1 ：初始化区间 \([ 0,1]\)，计算 \(R_ {1,1} = \frac{g(0) + g(1)}{2} = \frac{2\cos(0) + 2\cos(1)}{2} = 1 + \cos(1)\)。 步骤2 ：区间二分，计算 \(R_ {2,1}\)： 节点 \(t_ 0=0, t_ 1=0.5, t_ 2=1\)， \(R_ {2,1} = \frac{1}{2} \left[ R_ {1,1} + g(0.5) \right] = \frac{1}{2} \left[ 1 + \cos(1) + 2\cos(0.25) \right ]\)。 步骤3 ：第一次外推（计算 \(R_ {2,2}\)）： \(R_ {2,2} = \frac{4 R_ {2,1} - R_ {1,1}}{3}\)。 步骤4 ：重复二分和外推，直到相邻外推值 \(|R_ {k,k} - R_ {k-1,k-1}| < \epsilon\)（例如 \(\epsilon = 10^{-8}\)）。 4. 结果与误差分析 解析解：通过菲涅尔积分可得 \(I = \sqrt{2\pi} \, C(1/\sqrt{2\pi}) \approx 1.809048475800\cdots\)（其中 \(C\) 为菲涅尔余弦积分）。 数值实验：直接对原函数应用龙贝格法需更多迭代才能收敛，而正则化变换后仅需较少外推次数即可达到高精度。 关键点 ：正则化变换将奇异积分转化为光滑积分，充分发挥龙贝格法的超收敛性。 5. 扩展讨论 若奇异性为 \(x^{-\alpha} \, (0<\alpha <1)\)，可用广义变换 \(x = t^p\)，其中 \(p > \alpha\) 使新被积函数光滑。例如对 \(1/x^\alpha\)，选择 \(p = 1/(1-\alpha)\) 可消除奇异性。