基于线性规划的图最大流问题的Ford-Fulkerson算法求解示例 我将为您详细讲解基于线性规划的图最大流问题的Ford-Fulkerson算法求解过程。这是一个经典的网络流问题，Ford-Fulkerson算法是解决该问题的基本方法。 问题描述 考虑一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集，E是边集。每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)≥0。指定两个特殊顶点：源点s和汇点t。最大流问题的目标是找到从s到t的最大流量，满足： 容量约束：每条边的流量不超过其容量 流量守恒：除s和t外，每个顶点的流入量等于流出量 解题过程 步骤1：建立线性规划模型 首先将最大流问题形式化为线性规划： 决策变量：f(u,v)表示边(u,v)上的流量 目标函数：最大化从s流出的总流量 约束条件： 容量约束：0 ≤ f(u,v) ≤ c(u,v) 对所有(u,v)∈E 流量守恒：对每个v∈V-{s,t}，∑f(u,v) = ∑f(v,w) 步骤2：理解Ford-Fulkerson算法核心思想 该算法基于增广路径的概念： 初始时所有边流量设为0 在残量图中寻找从s到t的增广路径 沿增广路径增加流量 重复直到找不到增广路径 步骤3：构建残量图 对于原图G=(V,E)和当前流量f，构建残量图G_ f=(V,E_ f)： 前向边：如果f(u,v) < c(u,v)，则包含边(u,v)，残量容量为c(u,v)-f(u,v) 反向边：如果f(u,v) > 0，则包含边(v,u)，残量容量为f(u,v) 步骤4：寻找增广路径 在残量图中使用深度优先搜索(DFS)或广度优先搜索(BFS)寻找从s到t的路径。BFS版本称为Edmonds-Karp算法，能保证多项式时间复杂度。 步骤5：计算可增加流量 对于找到的增广路径P，可增加的流量值为： δ = min{(u,v)∈P} r(u,v) 其中r(u,v)是残量图中边(u,v)的残量容量 步骤6：更新流量 沿增广路径P更新流量： 对于前向边(u,v)：f(u,v) = f(u,v) + δ 对于反向边(v,u)：f(v,u) = f(v,u) - δ 步骤7：算法终止条件 当残量图中不存在从s到t的路径时，当前流f就是最大流。 实例演示 考虑简单网络：顶点{s,a,b,t}，边： s→a: 容量10, s→b: 容量10 a→b: 容量5, a→t: 容量15, b→t: 容量10 执行过程： 初始流量全为0 找到增广路径s→a→t，可增加流量10 找到增广路径s→b→t，可增加流量10 残量图中无s到t路径，算法终止 最大流值为20 算法分析 时间复杂度：O(E × |f_ max|)，其中|f_ max|是最大流值 使用BFS时：O(VE²) 正确性基于最大流最小割定理 这个算法通过不断在残量图中寻找增广路径并增加流量，最终收敛到最大流解。