非线性规划中的投影梯度法进阶题 我将为您讲解投影梯度法在非线性规划中的应用。这个算法特别适合处理具有简单约束（如边界约束）的优化问题。 问题描述 考虑以下非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 约束条件为：x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₁ + x₂ ≤ 3 这是一个具有非线性目标函数和线性不等式约束的优化问题。 解题过程 1. 算法基本原理 投影梯度法的核心思想是：在梯度下降的基础上，对每一步迭代结果进行投影，使其满足约束条件。 算法步骤： 从可行点x⁰开始 迭代公式：xᵏ⁺¹ = Pₓ[ xᵏ - αₖ∇f(xᵏ) ] 其中Pₓ是投影算子，将点投影到可行域X上 2. 目标函数分析 首先计算目标函数的梯度： ∇f(x) = [ ∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂ ]ᵀ ∂f/∂x₁ = 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂) ∂f/∂x₂ = -4(x₁ - 2x₂) 3. 投影算子定义 对于我们的约束条件 x ≥ 0 且 x₁ + x₂ ≤ 3，投影算子Pₓ(y)定义为： Pₓ(y) = argmin{‖z - y‖² : z ≥ 0, z₁ + z₂ ≤ 3} 这个投影问题本身是一个二次规划问题，可以通过解析方法求解。 4. 步长选择策略 采用Armijo线搜索确定步长： 初始步长α₀ = 1 收缩因子β = 0.5 参数σ = 0.1 寻找满足条件的步长：f(x - α∇f(x)) ≤ f(x) - σα‖∇f(x)‖² 5. 迭代过程详解 让我们从初始点x⁰ = [ 1, 1 ]开始迭代： 第1次迭代： 当前点：x⁰ = [ 1, 1 ] 梯度计算：∇f(x⁰) = [ 4(1-2)³ + 2(1-2), -4(1-2)] = [ -4 + (-2), 4] = [ -6, 4 ] 线搜索确定步长α₀ = 0.25 候选点：y¹ = [ 1, 1] - 0.25 × [ -6, 4] = [ 1 + 1.5, 1 - 1] = [ 2.5, 0 ] 投影到可行域：Pₓ([ 2.5, 0]) = [ 2.5, 0 ]（满足所有约束） 新点：x¹ = [ 2.5, 0 ] 第2次迭代： 当前点：x¹ = [ 2.5, 0 ] 梯度计算：∇f(x¹) = [ 4(2.5-2)³ + 2(2.5-0), -4(2.5-0)] = [ 4×0.125 + 5, -10] = [ 5.5, -10 ] 线搜索确定步长α₁ = 0.125 候选点：y² = [ 2.5, 0] - 0.125 × [ 5.5, -10] = [ 2.5 - 0.6875, 0 + 1.25] = [ 1.8125, 1.25 ] 投影到可行域：Pₓ([ 1.8125, 1.25]) = [ 1.8125, 1.25 ]（满足所有约束） 新点：x² = [ 1.8125, 1.25 ] 6. 收敛性分析 投影梯度法的收敛性基于： 目标函数在可行域上凸且连续可微 梯度满足Lipschitz连续性 使用合适的线搜索策略 收敛准则：‖xᵏ⁺¹ - xᵏ‖ < ε 或 ‖∇f(xᵏ)‖ < ε 7. 最优性条件验证 在最优解x 处，应满足一阶最优性条件： ⟨∇f(x ), x - x* ⟩ ≥ 0, ∀x ∈ X 经过多次迭代后，算法收敛到近似最优解x* ≈ [ 2, 1 ]，此时： ∇f(x* ) ≈ [ 0, 0 ]，满足最优性条件。 算法特点总结 适用于简单约束优化问题 实现相对简单 收敛速度通常为线性收敛 对初始点选择不敏感 计算效率较高，特别适合大规模问题 这就是投影梯度法在非线性规划中的完整应用过程。