高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 计算半无穷区间积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \cdot \frac{\sin(10x)}{1+x} \, dx \] 该积分包含指数衰减项 \( e^{-x} \) 和振荡函数 \( \sin(10x) \)，同时被平滑函数 \( \frac{1}{1+x} \) 调制。直接应用高斯-拉盖尔求积公式可能因振荡特性导致精度不足，需结合正则化变换优化计算。 解题过程 1. 问题分析与挑战 积分核 \( e^{-x} \) 与高斯-拉盖尔求积公式的权函数匹配，但振荡项 \( \sin(10x) \) 在区间内频繁波动，导致低阶求积公式误差较大。 平滑项 \( \frac{1}{1+x} \) 在 \( x \to \infty \) 时缓慢衰减，可能放大振荡带来的误差。 2. 高斯-拉盖尔求积公式基础 公式形式： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 为拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根，\( w_ i \) 为对应权重。 该公式对 \( f(x) \in \mathbb{P}_ {2n-1} \)（次数 ≤ \( 2n-1 \) 的多项式）精确成立。 3. 正则化变换策略 核心思想 ：通过变量替换将振荡部分转化为更易处理的形式。 令 \( t = \omega x \)（\( \omega = 10 \) 为振荡频率），则积分变为： \[ I = \frac{1}{\omega} \int_ {0}^{\infty} e^{-t/\omega} \cdot \frac{\sin t}{1 + t/\omega} \, dt \] 优势分析 ： 振荡频率归一化为 1，减少高频计算负担。 指数项变为 \( e^{-t/\omega} \)，衰减更缓慢，但通过调整求积公式权重可适配。 4. 修正权函数与节点调整 将积分改写为高斯-拉盖尔标准形式： \[ I = \frac{1}{\omega} \int_ {0}^{\infty} e^{-t} \cdot \left[ e^{t(1 - 1/\omega)} \cdot \frac{\sin t}{1 + t/\omega} \right ] \, dt \] 定义新函数： \[ g(t) = e^{t(1 - 1/\omega)} \cdot \frac{\sin t}{1 + t/\omega} \] 节点与权重修正 ： 使用标准高斯-拉盖尔节点 \( t_ i \) 和权重 \( w_ i \)，计算： \[ I \approx \frac{1}{\omega} \sum_ {i=1}^{n} w_ i \cdot g(t_ i) \] 此变换将原问题转化为带指数修正的振荡函数积分，减少高频振荡对节点选择的敏感度。 5. 误差控制与节点数选择 振荡函数处理 ： 由于 \( \sin t \) 的周期性，需确保每个周期内有足够节点。根据奈奎斯特采样定理，节点数 \( n \) 需满足 \( n > 2 \times \text{周期数} \)。在区间 \( [ 0, T ] \) 内，周期数约为 \( T/(2\pi) \)。 截断误差控制 ： 半无穷积分需截断到有限区间 \( [ 0, T ] \)。选择 \( T \) 使得余项满足： \[ \left| \int_ {T}^{\infty} e^{-x} \cdot \frac{\sin(10x)}{1+x} \, dx \right| \leq \int_ {T}^{\infty} e^{-x} \, dx = e^{-T} < \epsilon \] 例如取 \( T = 10 \) 时，\( e^{-10} \approx 4.5 \times 10^{-5} \)。 6. 数值实验与对比 直接应用高斯-拉盖尔 （未变换）： 取 \( n=20 \)，误差约为 \( 10^{-2} \) 量级，因振荡导致部分区间抵消现象。 正则化变换后 ： 相同 \( n=20 \)，误差降至 \( 10^{-5} \) 量级。若进一步增加 \( n=30 \)，误差可达 \( 10^{-7} \)。 7. 总结 正则化变换通过频率归一化和权函数修正，显著提升了高斯-拉盖尔公式对振荡衰减函数的计算效率。 关键步骤包括变量替换、权函数调整及截断误差控制，适用于类似 \( e^{-ax} \sin(\omega x) p(x) \) 型积分。