最长回文子序列的变种：统计所有回文子序列的个数（进阶版：考虑重复子序列的统计）

字数 2625 2025-11-16 22:24:28

最长回文子序列的变种：统计所有回文子序列的个数（进阶版：考虑重复子序列的统计）

题目描述
给定一个字符串 s，统计其中所有不同的非空回文子序列的个数。注意，即使两个回文子序列的内容相同，但如果它们在原字符串中的位置不同（即起始和结束下标不同），也被视为不同的子序列。结果可能很大，需要对 10^9 + 7 取模。

例如，对于字符串 "bccb"，不同的回文子序列包括：

"b"（位置0）、"b"（位置3）、"c"（位置1）、"c"（位置2）、"cc"、"bcb"、"bccb"
总共有7个不同的回文子序列。

解题思路
这是一个线性动态规划问题，我们需要统计所有不同的回文子序列。为了避免重复计数，我们使用动态规划来记录以每个字符开头和结尾的回文子序列数量。关键在于处理相同字符的情况，确保不重复计算相同的子序列。

步骤详解

定义状态
定义 dp[i][j] 为字符串 s 从索引 i 到 j 的子串中，所有不同的回文子序列的个数。注意，这里统计的是不同的子序列，即使内容相同但位置不同也算不同。
状态转移方程
考虑子串 s[i:j]：
- 如果 s[i] == s[j]，那么我们可以将 s[i] 和 s[j] 作为新的回文子序列的边界。此时，所有在 i+1 到 j-1 之间的回文子序列都可以被扩展成新的回文子序列，同时还要加上 s[i] 和 s[j] 自身形成的子序列。
- 如果 s[i] != s[j]，那么我们需要减去重复计算的部分，即 dp[i+1][j-1] 中的子序列。
具体来说：
- 当 s[i] == s[j] 时，dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1] + (dp[i+1][j-1] + 1)
  简化后：dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] + 1
- 当 s[i] != s[j] 时，dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]
这里加1是因为当 s[i] == s[j] 时，s[i] 和 s[j] 可以形成一个新的回文子序列。
初始化
对于所有单个字符，即 i == j 的情况，dp[i][i] = 1，因为单个字符本身就是一个回文子序列。
计算顺序
由于 dp[i][j] 依赖于 dp[i+1][j]、dp[i][j-1] 和 dp[i+1][j-1]，我们需要从子串长度从小到大的顺序进行计算。即先计算所有长度为1的子串，然后是长度为2，依此类推，直到整个字符串。
结果提取
最终结果是 dp[0][n-1]，其中 n 是字符串 s 的长度。

示例演算
以字符串 "bccb" 为例：

初始化：所有单个字符的 dp[i][i] = 1。
计算长度为2的子串：
- "bc": s[0] != s[1]，所以 dp[0][1] = dp[1][1] + dp[0][0] - dp[1][0] = 1 + 1 - 0 = 2（子序列："b", "c"）
- "cc": s[1] == s[2]，所以 dp[1][2] = dp[2][2] + dp[1][1] + 1 = 1 + 1 + 1 = 3（子序列："c", "c", "cc"）
- "cb": s[2] != s[3]，所以 dp[2][3] = dp[3][3] + dp[2][2] - dp[3][2] = 1 + 1 - 0 = 2（子序列："c", "b"）
计算长度为3的子串：
- "bcc": s[0] != s[2]，所以 dp[0][2] = dp[1][2] + dp[0][1] - dp[1][1] = 3 + 2 - 1 = 4（子序列："b", "c", "c", "cc", "bc", "cc"? 这里需要仔细去重）
- "ccb": s[1] != s[3]，所以 dp[1][3] = dp[2][3] + dp[1][2] - dp[2][2] = 2 + 3 - 1 = 4（子序列："c", "c", "b", "cc", "cb", "ccb"?）
计算整个字符串 "bccb":
- s[0] == s[3]，所以 dp[0][3] = dp[1][3] + dp[0][2] + 1 = 4 + 4 + 1 = 9，但实际只有7个不同的回文子序列。

通过这个例子可以看出，直接使用上述状态转移方程可能会重复计算一些子序列。因此，我们需要更精细的去重处理。

优化去重
当 s[i] == s[j] 时，我们需要确保不重复计算中间相同的子序列。具体来说，我们可以在 s[i+1] 到 s[j-1] 之间找到第一个和最后一个与 s[i] 相同的字符，然后调整状态转移方程以避免重复。

修正后的状态转移方程：

当 s[i] == s[j] 时：
- 设 left 为 i+1 到 j-1 之间第一个等于 s[i] 的索引，right 为最后一个等于 s[i] 的索引。
- 如果 left > right，说明中间没有相同的字符，那么 dp[i][j] = 2 * dp[i+1][j-1] + 2
- 如果 left == right，说明中间有一个相同的字符，那么 dp[i][j] = 2 * dp[i+1][j-1] + 1
- 如果 left < right，说明中间有多个相同的字符，那么 dp[i][j] = 2 * dp[i+1][j-1] - dp[left+1][right-1]
当 s[i] != s[j] 时，dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]

这样，我们可以准确统计所有不同的回文子序列，而不会重复计算。

最终答案
通过上述动态规划过程，我们可以得到字符串 s 中所有不同的回文子序列的个数，并对 10^9 + 7 取模。

最长回文子序列的变种：统计所有回文子序列的个数（进阶版：考虑重复子序列的统计）题目描述给定一个字符串 s ，统计其中所有不同的非空回文子序列的个数。注意，即使两个回文子序列的内容相同，但如果它们在原字符串中的位置不同（即起始和结束下标不同），也被视为不同的子序列。结果可能很大，需要对 10^9 + 7 取模。例如，对于字符串 "bccb" ，不同的回文子序列包括： "b" （位置0）、 "b" （位置3）、 "c" （位置1）、 "c" （位置2）、 "cc" 、 "bcb" 、 "bccb" 总共有7个不同的回文子序列。解题思路这是一个线性动态规划问题，我们需要统计所有不同的回文子序列。为了避免重复计数，我们使用动态规划来记录以每个字符开头和结尾的回文子序列数量。关键在于处理相同字符的情况，确保不重复计算相同的子序列。步骤详解定义状态定义 dp[i][j] 为字符串 s 从索引 i 到 j 的子串中，所有不同的回文子序列的个数。注意，这里统计的是不同的子序列，即使内容相同但位置不同也算不同。状态转移方程考虑子串 s[i:j] ：如果 s[i] == s[j] ，那么我们可以将 s[i] 和 s[j] 作为新的回文子序列的边界。此时，所有在 i+1 到 j-1 之间的回文子序列都可以被扩展成新的回文子序列，同时还要加上 s[i] 和 s[j] 自身形成的子序列。如果 s[i] != s[j] ，那么我们需要减去重复计算的部分，即 dp[i+1][j-1] 中的子序列。具体来说：当 s[i] == s[j] 时， dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1] + (dp[i+1][j-1] + 1) 简化后： dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] + 1 当 s[i] != s[j] 时， dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1] 这里加1是因为当 s[i] == s[j] 时， s[i] 和 s[j] 可以形成一个新的回文子序列。初始化对于所有单个字符，即 i == j 的情况， dp[i][i] = 1 ，因为单个字符本身就是一个回文子序列。计算顺序由于 dp[i][j] 依赖于 dp[i+1][j] 、 dp[i][j-1] 和 dp[i+1][j-1] ，我们需要从子串长度从小到大的顺序进行计算。即先计算所有长度为1的子串，然后是长度为2，依此类推，直到整个字符串。结果提取最终结果是 dp[0][n-1] ，其中 n 是字符串 s 的长度。示例演算以字符串 "bccb" 为例：初始化：所有单个字符的 dp[i][i] = 1 。计算长度为2的子串： "bc" : s[0] != s[1] ，所以 dp[0][1] = dp[1][1] + dp[0][0] - dp[1][0] = 1 + 1 - 0 = 2 （子序列： "b" , "c" ） "cc" : s[1] == s[2] ，所以 dp[1][2] = dp[2][2] + dp[1][1] + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 （子序列： "c" , "c" , "cc" ） "cb" : s[2] != s[3] ，所以 dp[2][3] = dp[3][3] + dp[2][2] - dp[3][2] = 1 + 1 - 0 = 2 （子序列： "c" , "b" ）计算长度为3的子串： "bcc" : s[0] != s[2] ，所以 dp[0][2] = dp[1][2] + dp[0][1] - dp[1][1] = 3 + 2 - 1 = 4 （子序列： "b" , "c" , "c" , "cc" , "bc" , "cc" ? 这里需要仔细去重） "ccb" : s[1] != s[3] ，所以 dp[1][3] = dp[2][3] + dp[1][2] - dp[2][2] = 2 + 3 - 1 = 4 （子序列： "c" , "c" , "b" , "cc" , "cb" , "ccb" ?）计算整个字符串 "bccb" : s[0] == s[3] ，所以 dp[0][3] = dp[1][3] + dp[0][2] + 1 = 4 + 4 + 1 = 9 ，但实际只有7个不同的回文子序列。通过这个例子可以看出，直接使用上述状态转移方程可能会重复计算一些子序列。因此，我们需要更精细的去重处理。优化去重当 s[i] == s[j] 时，我们需要确保不重复计算中间相同的子序列。具体来说，我们可以在 s[i+1] 到 s[j-1] 之间找到第一个和最后一个与 s[i] 相同的字符，然后调整状态转移方程以避免重复。修正后的状态转移方程：当 s[i] == s[j] 时：设 left 为 i+1 到 j-1 之间第一个等于 s[i] 的索引， right 为最后一个等于 s[i] 的索引。如果 left > right ，说明中间没有相同的字符，那么 dp[i][j] = 2 * dp[i+1][j-1] + 2 如果 left == right ，说明中间有一个相同的字符，那么 dp[i][j] = 2 * dp[i+1][j-1] + 1 如果 left < right ，说明中间有多个相同的字符，那么 dp[i][j] = 2 * dp[i+1][j-1] - dp[left+1][right-1] 当 s[i] != s[j] 时， dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1] 这样，我们可以准确统计所有不同的回文子序列，而不会重复计算。最终答案通过上述动态规划过程，我们可以得到字符串 s 中所有不同的回文子序列的个数，并对 10^9 + 7 取模。