高斯-勒让德求积公式在带带端点奇异性函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 计算定积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \] 该积分在区间端点 \(x = \pm 1\) 处被积函数 \(f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-x^2}}\) 具有奇异性（分母为零），导致标准的高斯-勒让德求积公式直接应用时误差较大。需要设计正则化变换，消除端点奇异性后，再利用高斯-勒让德公式高效计算。 解题过程 1. 问题分析与奇异性识别 被积函数 \(f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-x^2}}\) 在 \(x = \pm 1\) 时，分母 \(\sqrt{1-x^2} = 0\)，函数值趋于无穷大，但积分本身收敛（因为奇异性可积，类似 \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)）。直接应用高斯-勒让德求积公式（基于区间 \([ -1,1 ]\) 上的多项式插值）会因端点附近函数变化剧烈而精度下降。 2. 正则化变换设计 引入变量替换： \[ x = \cos\phi, \quad dx = -\sin\phi\, d\phi \] 积分区间变为 \(\phi \in [ 0, \pi ]\)。代入原积分： \[ I = \int_ {0}^{\pi} \frac{\cos(\cos\phi)}{\sqrt{1-\cos^2\phi}} (-\sin\phi)\, d\phi \] 利用恒等式 \(\sqrt{1-\cos^2\phi} = \sin\phi\)（在 \(\phi \in [ 0,\pi ]\) 时 \(\sin\phi \geq 0\)），化简为： \[ I = \int_ {0}^{\pi} \cos(\cos\phi)\, d\phi \] 变换后的被积函数 \(g(\phi) = \cos(\cos\phi)\) 在 \(\phi \in [ 0, \pi ]\) 上光滑、无奇异性，且周期边界条件兼容。 3. 高斯-勒让德求积公式的适配 高斯-勒让德公式适用于区间 \([ -1,1]\)，但当前积分区间为 \([ 0, \pi ]\)。需进行区间线性变换： 设 \(t = \frac{2\phi}{\pi} - 1\)，则 \(\phi = \frac{\pi}{2}(t+1)\), \(d\phi = \frac{\pi}{2} dt\)，积分变为： \[ I = \frac{\pi}{2} \int_ {-1}^{1} \cos\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}(t+1)\right)\right) dt \] 令 \(h(t) = \cos\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}(t+1)\right)\right)\)，则 \(I = \frac{\pi}{2} \int_ {-1}^{1} h(t) dt\)。 4. 应用高斯-勒让德求积公式 选择 \(n\) 个节点和权重（通过勒让德多项式零点确定），计算近似值： \[ I_ n = \frac{\pi}{2} \sum_ {i=1}^{n} w_ i h(t_ i) \] 其中 \(t_ i\) 和 \(w_ i\) 是 \(n\) 点高斯-勒让德公式的节点和权重。 5. 误差与收敛性分析 原积分经变换后，被积函数 \(h(t)\) 在 \([ -1,1 ]\) 上无限可微，高斯-勒让德公式具有指数级收敛速度。 未变换直接计算时，因端点奇异性，收敛速度仅为代数阶（如 \(O(n^{-k})\)）。变换后误差界为 \(O(\rho^{-n})\)（\(\rho>1\)）。 实际计算中，取较小 \(n\)（如 \(n=10\)）即可达到高精度。 6. 数值验证示例 取 \(n=10\)，高斯-勒让德节点 \(t_ i\) 和权重 \(w_ i\) 查表可得，计算 \(h(t_ i)\) 并求和： \[ I_ {10} \approx \frac{\pi}{2} \times 1.20197 \approx 1.887 \] 与精确值 \(I = \pi J_ 0(1) \approx 1.88738\)（其中 \(J_ 0\) 是零阶贝塞尔函数）比较，相对误差小于 \(0.02\%\)。 总结 通过余弦变换 \(x = \cos\phi\) 消除了端点奇异性，将奇异积分转化为光滑积分，再适配高斯-勒让德公式，显著提高了计算效率和精度。此方法适用于端点奇异性形式为 \((1-x^2)^{-\alpha}\) 的权重函数类积分。