高斯-勒让德求积公式在带边界层函数积分中的权函数匹配技巧 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \] 其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 的端点附近存在边界层（即函数在端点处变化剧烈，例如 \( f(x) = e^{-x/\varepsilon} \) 或 \( f(x) = \tanh(x/\varepsilon) \)，\(\varepsilon \ll 1\)）。要求通过权函数匹配技巧改进高斯-勒让德求积公式的精度。 解题过程 问题分析 高斯-勒让德求积公式在光滑函数上精度高，但边界层会导致函数在端点附近梯度极大，使得多项式逼近效果差。 直接应用高斯-勒让德公式时，节点可能无法捕捉边界层的快速变化，造成较大误差。 权函数匹配的核心思想：通过变量替换将被积函数转化为更易用多项式逼近的形式。 权函数匹配策略 构造辅助函数 \( g(x) = f(x) / w(x) \)，其中 \( w(x) \) 为匹配边界层行为的权函数。 将原积分改写为： \[ I = \int_ {-1}^{1} w(x) \cdot g(x) \, dx \] 选择 \( w(x) \) 使其在端点处与 \( f(x) \) 的奇异性或边界层行为一致，从而让 \( g(x) \) 更平滑。 权函数选择方法 若边界层由指数衰减引起（如 \( f(x) = e^{-(1+x)/\varepsilon} \)），可设 \( w(x) = e^{-(1+x)/\varepsilon} \)。 若边界层表现为陡峭变化（如 \( f(x) = \tanh((1+x)/\varepsilon) \))，可设 \( w(x) = \text{sech}^2((1+x)/\varepsilon) \)。 目标：通过 \( w(x) \) 吸收 \( f(x) \) 的剧烈变化，使 \( g(x) = f(x)/w(x) \) 近似为低阶多项式。 高斯-勒让德公式的调整 标准高斯-勒让德公式： \[ \int_ {-1}^{1} h(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i h(x_ i) \] 应用权函数匹配后，需计算： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i \cdot w(x_ i) g(x_ i) \] 注意：此处的 \( w_ i \) 是高斯-勒让德权重，与权函数 \( w(x) \) 不同。 误差控制技巧 若 \( g(x) \) 仍不够平滑，可增加节点数 \( n \) 或进一步优化 \( w(x) \)。 通过残差分析判断 \( g(x) \) 的多项式逼近程度：若高阶导数仍较大，需重新选择 \( w(x) \)。 示例验证 以 \( f(x) = e^{-(1+x)/0.1} \) 为例，选择 \( w(x) = e^{-(1+x)/0.1} \)，则 \( g(x) \equiv 1 \)。 此时仅需 \( n=1 \) 的高斯-勒让德公式即可精确积分： \[ I \approx w_ 1 \cdot w(x_ 1) \cdot 1 = 2 \cdot e^{-(1+0)/0.1} \cdot 1 \] 实际计算时需注意 \( w(x) \) 的归一化，但本例中 \( g(x)=1 \) 的积分结果为 \( 2 \)，与理论一致。 总结 权函数匹配通过吸收边界层的剧烈变化，使剩余函数更平滑，从而提升高斯-勒让德公式的精度。关键在于根据边界层特性设计合适的 \( w(x) \)，将原问题转化为易于多项式逼近的形式。